Textaufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung
Löse spannende Wahrscheinlichkeitsaufgaben aus dem Alltag: Wetter, Spiele, Kleidung und mehr.
Wahrscheinlichkeiten im Alltag berechnen
Wahrscheinlichkeitsrechnung begegnet uns im Alltag viel häufiger, als wir denken - beim Wetter, bei Spielen, in der Schule und in vielen anderen Situationen. Hier findest du verschiedene Textaufgaben mit Bezug zum Alltag, die dir helfen, die Wahrscheinlichkeitsrechnung besser zu verstehen und anzuwenden.
Wähle eine der folgenden Aufgaben aus, um mehr zu erfahren und deine Fähigkeiten zu trainieren:
Am Wochenende soll es mit 70% Wahrscheinlichkeit regnen. Wie wahrscheinlich ist es, dass es sowohl am Samstag als auch am Sonntag regnet?
Aufgabe startenIm dunklen Kleiderschrank sind 4 rote, 3 blaue und 5 schwarze T-Shirts. Wenn du zufällig 2 T-Shirts herausnimmst, wie wahrscheinlich ist es, dass mindestens eines rot ist?
Aufgabe startenBei einem Spiel wirfst du dreimal hintereinander eine Münze. Du gewinnst, wenn mindestens zweimal Kopf erscheint. Wie groß ist deine Gewinnchance?
Aufgabe startenDie Wahrscheinlichkeit, auf dem Weg zur Schule einen platten Reifen zu bekommen, beträgt 5%. Wie wahrscheinlich ist es, dass du in einer 5-Tage-Schulwoche keinen platten Reifen bekommst?
Aufgabe startenBei einem Schulfest gibt es ein Glücksrad mit 8 gleich großen Feldern: 3 rote, 2 blaue, 2 gelbe und 1 grünes. Wie wahrscheinlich ist es, dass du bei 2 Versuchen mindestens einmal Rot oder Blau triffst?
Aufgabe startenBei einem Würfelspiel musst du mit zwei Würfeln würfeln. Du gewinnst, wenn die Summe der Augenzahlen größer als 9 ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du gewinnst?
Aufgabe startenTextaufgabe: Regenwetter
Aufgabenstellung
Der Wetterbericht sagt für das kommende Wochenende mit 70% Wahrscheinlichkeit Regen voraus. Wie wahrscheinlich ist es, dass es sowohl am Samstag als auch am Sonntag regnet?
Lösung: Regenwetter
Analyse der Aufgabenstellung
In dieser Aufgabe geht es um die Wahrscheinlichkeit, dass es an beiden Tagen regnet - also am Samstag UND am Sonntag. Das Schlüsselwort "UND" deutet darauf hin, dass wir die 1. Pfadregel (Multiplikationsregel) anwenden müssen.
Gegeben ist, dass es an einem Tag mit 70% Wahrscheinlichkeit regnet.
Berechnung mit Baumdiagramm
Wir betrachten zwei Tage nacheinander und können für jeden Tag zwei mögliche Ereignisse haben: Entweder es regnet oder es regnet nicht.
Für jeden Tag gilt:
- P(Regen) = 0,7 = 70%
- P(kein Regen) = 1 - 0,7 = 0,3 = 30%
Anwendung der 1. Pfadregel
Nach der 1. Pfadregel (Multiplikationsregel) berechnen wir die Wahrscheinlichkeit für "Regen an beiden Tagen" als Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten:
Lösung
Die Wahrscheinlichkeit, dass es sowohl am Samstag als auch am Sonntag regnet, beträgt 49%.
Bemerkung: Diese Berechnung geht davon aus, dass die Wettervorhersagen für beide Tage unabhängig voneinander sind. In der Realität könnte das Wetter am Sonntag durchaus vom Wetter am Samstag abhängen.
Praxistipp
Achte bei Textaufgaben auf Schlüsselwörter wie "und", "oder", "mindestens" usw. Sie geben dir Hinweise darauf, welche Pfadregel angewendet werden muss:
- "UND", "sowohl... als auch" → 1. Pfadregel (Multiplikation)
- "ODER", "mindestens eines von beiden" → 2. Pfadregel (Addition)
Textaufgabe: Kleiderschrank
Aufgabenstellung
Im dunklen Kleiderschrank befinden sich 4 rote, 3 blaue und 5 schwarze T-Shirts. Wenn du zufällig 2 T-Shirts herausnimmst, wie wahrscheinlich ist es, dass mindestens eines davon rot ist?
Lösung: Kleiderschrank
Analyse der Aufgabenstellung
Wir haben insgesamt 4 + 3 + 5 = 12 T-Shirts im Kleiderschrank.
Davon sind 4 rot, 3 blau und 5 schwarz.
Wir ziehen 2 T-Shirts heraus und wollen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass mindestens eines rot ist. Das Wort "mindestens" deutet auf die 2. Pfadregel (Additionsregel) hin.
Da wir ohne Zurücklegen ziehen, ändert sich die Zusammensetzung nach dem ersten Zug.
Lösungsstrategie
Bei der Formulierung "mindestens ein rotes T-Shirt" können wir entweder direkt alle günstigen Fälle betrachten oder über das Gegenereignis "kein rotes T-Shirt" arbeiten.
Da die Berechnung über das Gegenereignis einfacher ist, wählen wir diesen Ansatz:
Berechnung der Wahrscheinlichkeit für "kein rotes T-Shirt"
Wenn wir kein rotes T-Shirt ziehen wollen, müssen beide gezogenen T-Shirts entweder blau oder schwarz sein.
Insgesamt gibt es 3 + 5 = 8 nicht-rote T-Shirts unter den 12 T-Shirts.
Die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Zug ein nicht-rotes T-Shirt zu ziehen:
Die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Zug ein nicht-rotes T-Shirt zu ziehen, nachdem das erste nicht-rot war:
Nach der 1. Pfadregel (Multiplikationsregel) berechnen wir die Wahrscheinlichkeit für den gesamten Pfad:
Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit
Jetzt können wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen:
Lösung
Die Wahrscheinlichkeit, bei zwei zufällig gezogenen T-Shirts mindestens ein rotes zu erhalten, beträgt etwa 57,6% oder ungefähr 58%.
Die Lösung über das Gegenereignis ist hier besonders praktisch, weil es einfacher ist, den Fall "kein rotes T-Shirt" zu berechnen als alle Fälle mit "mindestens einem roten T-Shirt" einzeln zu betrachten.
Textaufgabe: Münzspiel
Aufgabenstellung
Bei einem Spiel wirfst du dreimal hintereinander eine Münze. Du gewinnst, wenn mindestens zweimal Kopf erscheint. Wie groß ist deine Gewinnchance?
Lösung: Münzspiel
Analyse der Aufgabenstellung
In dieser Aufgabe haben wir folgende Informationen:
- Wir werfen dreimal eine Münze
- Wir gewinnen, wenn mindestens zweimal Kopf erscheint
- Das bedeutet: Wir gewinnen, wenn wir zweimal oder dreimal Kopf werfen
- Bei jedem Wurf ist die Wahrscheinlichkeit für Kopf 1/2 = 0,5 = 50%
Bestimmen aller möglichen Ergebnisse
Bei drei Münzwürfen gibt es insgesamt 2³ = 8 mögliche Ergebnisse, die alle gleich wahrscheinlich sind:
- Kopf - Kopf - Kopf (KKK)
- Kopf - Kopf - Zahl (KKZ)
- Kopf - Zahl - Kopf (KZK)
- Kopf - Zahl - Zahl (KZZ)
- Zahl - Kopf - Kopf (ZKK)
- Zahl - Kopf - Zahl (ZKZ)
- Zahl - Zahl - Kopf (ZZK)
- Zahl - Zahl - Zahl (ZZZ)
Identifizieren der günstigen Ergebnisse
Wir gewinnen, wenn mindestens zweimal Kopf erscheint. Das sind folgende Fälle:
- KKK (3× Kopf)
- KKZ (2× Kopf)
- KZK (2× Kopf)
- ZKK (2× Kopf)
Insgesamt gibt es also 4 günstige Ergebnisse.
Berechnung der Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen berechnen wir mit der Formel:
Lösung
Die Wahrscheinlichkeit, bei dreimaligem Münzwurf mindestens zweimal Kopf zu werfen, beträgt 50%.
Deine Gewinnchance liegt also bei 1:2 oder 50%.
Tipp
Bei Münzwürfen und ähnlichen Zufallsexperimenten ist es hilfreich, alle möglichen Ergebnisse systematisch aufzulisten. So kann man sicher sein, dass man keinen Fall übersieht.
Für die Berechnung "mindestens zweimal Kopf" könntest du auch die Wahrscheinlichkeiten für "genau zweimal Kopf" und "genau dreimal Kopf" berechnen und addieren.
Textaufgabe: Fahrrad-Pannen
Aufgabenstellung
Die Wahrscheinlichkeit, auf dem Weg zur Schule einen platten Reifen zu bekommen, beträgt 5%. Wie wahrscheinlich ist es, dass du in einer 5-Tage-Schulwoche keinen platten Reifen bekommst?
Lösung: Fahrrad-Pannen
Analyse der Aufgabenstellung
In dieser Aufgabe haben wir folgende Informationen:
- Die Wahrscheinlichkeit für einen platten Reifen an einem Tag beträgt 5% (0,05)
- Die Wahrscheinlichkeit, keinen platten Reifen an einem Tag zu bekommen, beträgt also 95% (0,95)
- Wir betrachten 5 Schultage (eine Woche)
- Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, an keinem der 5 Tage einen platten Reifen zu bekommen
Anwendung der 1. Pfadregel (Multiplikationsregel)
Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass an keinem der 5 Tage ein platter Reifen auftritt, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für jeden Tag multiplizieren (UND-Verknüpfung):
Da die Wahrscheinlichkeit für "keine Panne" an jedem Tag gleich ist (0,95), können wir schreiben:
Lösung
Die Wahrscheinlichkeit, in einer 5-Tage-Schulwoche keinen platten Reifen zu bekommen, beträgt etwa 77,38%.
Umgekehrt bedeutet das, dass die Wahrscheinlichkeit, mindestens einen platten Reifen in der Woche zu bekommen, etwa 1 - 0,7738 = 0,2262 = 22,62% beträgt.
Tipp für den Alltag
Bei solchen Aufgaben, wo das gleiche Ereignis mehrmals hintereinander auftreten (oder nicht auftreten) soll, kannst du die Einzelwahrscheinlichkeit einfach mit sich selbst multiplizieren (potenzieren).
Beispiel: P(Ereignis tritt n-mal nacheinander ein) = P(Ereignis)^n
Textaufgabe: Glücksrad
Aufgabenstellung
Bei einem Schulfest gibt es ein Glücksrad mit 8 gleich großen Feldern: 3 rote, 2 blaue, 2 gelbe und 1 grünes. Wie wahrscheinlich ist es, dass du bei 2 Versuchen mindestens einmal Rot oder Blau triffst?
Lösung: Glücksrad
Analyse der Aufgabenstellung
Das Glücksrad hat 8 gleich große Felder:
- 3 rote Felder
- 2 blaue Felder
- 2 gelbe Felder
- 1 grünes Feld
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, bei 2 Versuchen mindestens einmal ein rotes oder blaues Feld zu treffen.
Die Wahrscheinlichkeit, ein rotes oder blaues Feld zu treffen, beträgt:
Die Wahrscheinlichkeit, weder ein rotes noch ein blaues Feld zu treffen, beträgt:
Lösungsstrategie über das Gegenereignis
Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit für "mindestens einmal Rot oder Blau" über das Gegenereignis "kein einziges Mal Rot oder Blau":
Die Wahrscheinlichkeit, bei zwei Versuchen kein einziges Mal Rot oder Blau zu treffen, ist:
Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit
Jetzt können wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen:
Lösung
Die Wahrscheinlichkeit, bei 2 Versuchen mindestens einmal Rot oder Blau zu treffen, beträgt etwa 85,94%.
Das ist eine ziemlich hohe Wahrscheinlichkeit, was sinnvoll ist, da 5 von 8 Feldern entweder rot oder blau sind.
Textaufgabe: Würfelspiel
Aufgabenstellung
Bei einem Würfelspiel musst du mit zwei Würfeln würfeln. Du gewinnst, wenn die Summe der Augenzahlen größer als 9 ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du gewinnst?
Lösung: Würfelspiel
Analyse der Aufgabenstellung
In dieser Aufgabe haben wir folgende Informationen:
- Wir würfeln mit zwei Würfeln
- Wir gewinnen, wenn die Summe der Augenzahlen größer als 9 ist
- Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für diesen Gewinn
Anzahl der möglichen Ergebnisse
Bei zwei Würfeln gibt es insgesamt 6 · 6 = 36 mögliche Kombinationen.
Diese sind alle gleich wahrscheinlich, wenn wir mit fairen Würfeln spielen.
Zählen der günstigen Ergebnisse
Wir suchen alle Kombinationen, bei denen die Summe größer als 9 ist. Das sind:
| Würfel 1 | Würfel 2 | Summe |
|---|---|---|
| 4 | 6 | 10 |
| 5 | 5 | 10 |
| 5 | 6 | 11 |
| 6 | 4 | 10 |
| 6 | 5 | 11 |
| 6 | 6 | 12 |
Wir haben 6 günstige Ergebnisse gezählt.
Berechnung der Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen berechnen wir mit der Formel:
Lösung
Die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit zwei Würfeln eine Summe größer als 9 zu erhalten, beträgt 1/6 oder etwa 16,7%.
Tipp
Bei Aufgaben mit Würfeln ist es oft hilfreich, eine Tabelle zu erstellen und systematisch alle möglichen Ergebnisse aufzulisten. So kann man die günstigen Ergebnisse leicht zählen.