Ziehen mit Zurücklegen
Berechne Wahrscheinlichkeiten, wenn Kugeln nach jedem Zug wieder zurückgelegt werden.
Die Aufgabe: Ziehen mit Zurücklegen
Eine Urne enthält 4 weiße und 6 schwarze Kugeln. Es werden nacheinander 3 Kugeln mit Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau 2 weiße Kugeln?
Schritt-für-Schritt Lösung
Schritt 1: Die wichtigsten Informationen zusammenfassen
Wir haben folgende Ausgangssituation:
- 4 weiße Kugeln
- 6 schwarze Kugeln
- Insgesamt also 10 Kugeln
- Es werden 3 Kugeln mit Zurücklegen gezogen
- Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(genau 2 weiße Kugeln)
Schritt 2: Baumdiagramm erstellen
Wir erstellen ein Baumdiagramm, um die möglichen Ergebnisse darzustellen:
Wichtig: Bei Ziehen mit Zurücklegen bleibt die Zusammensetzung der Urne unverändert. Die Wahrscheinlichkeiten bleiben also in jedem Zug gleich: P(weiß) = 4/10 = 0,4 und P(schwarz) = 6/10 = 0,6.
Schritt 3: Finden der günstigen Ergebnisse
Wir suchen alle möglichen Wege, genau 2 weiße Kugeln zu ziehen. Dafür müssen wir überlegen, wie die 2 weißen Kugeln bei insgesamt 3 Zügen verteilt sein können:
- Möglichkeit 1: weiß, weiß, schwarz
- Möglichkeit 2: weiß, schwarz, weiß
- Möglichkeit 3: schwarz, weiß, weiß
Diese drei Möglichkeiten sind die einzigen Wege, genau 2 weiße Kugeln zu erhalten.
Schritt 4: Berechnung mit der Pfadregel
Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit für jede Möglichkeit:
P(weiß, weiß, schwarz) = 0,4 · 0,4 · 0,6 = 0,096
P(weiß, schwarz, weiß) = 0,4 · 0,6 · 0,4 = 0,096
P(schwarz, weiß, weiß) = 0,6 · 0,4 · 0,4 = 0,096
Die Gesamtwahrscheinlichkeit für genau 2 weiße Kugeln erhalten wir, indem wir alle drei Möglichkeiten addieren:
Schritt 5: Systematisches Zählen der günstigen Fälle
Wir können auch systematischer vorgehen, indem wir überlegen, wie viele verschiedene Anordnungen es für das Ereignis "genau 2 weiße Kugeln bei 3 Zügen" gibt:
Bei 3 Zügen gibt es insgesamt 3 Positionen, an denen weiße Kugeln auftreten können. Wir wollen genau 2 weiße Kugeln haben, d.h. wir müssen 2 dieser 3 Positionen auswählen.
Die möglichen Anordnungen sind:
- Weiß an Position 1 und 2, Schwarz an Position 3: W-W-S
- Weiß an Position 1 und 3, Schwarz an Position 2: W-S-W
- Weiß an Position 2 und 3, Schwarz an Position 1: S-W-W
Wir haben also 3 verschiedene Anordnungen für genau 2 weiße Kugeln.
Die Wahrscheinlichkeit für jede dieser Anordnungen ist:
P(weiß, weiß, schwarz) = 0,4 · 0,4 · 0,6 = 0,096
P(weiß, schwarz, weiß) = 0,4 · 0,6 · 0,4 = 0,096
P(schwarz, weiß, weiß) = 0,6 · 0,4 · 0,4 = 0,096
Die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich durch Addition:
Lösung
Die Wahrscheinlichkeit, genau 2 weiße Kugeln bei 3 Ziehungen mit Zurücklegen zu erhalten, beträgt:
Erklärung
Bei dieser Aufgabe können wir entweder:
- Alle günstigen Fälle einzeln über Baumdiagramm und Pfadregel berechnen und addieren
- Systematisch die verschiedenen möglichen Anordnungen zählen und die Wahrscheinlichkeiten berechnen
Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis von 28,8%.