Ziehen ohne Zurücklegen
Berechne Wahrscheinlichkeiten, wenn Kugeln nacheinander gezogen und nicht zurückgelegt werden.
Die Aufgabe: Ziehen ohne Zurücklegen
Ein Beutel enthält 3 rote, 2 blaue und 5 grüne Kugeln. Es werden nacheinander 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind beide Kugeln rot?
Schritt-für-Schritt Lösung
Schritt 1: Die wichtigsten Informationen zusammenfassen
Wir haben folgende Ausgangssituation:
- 3 rote Kugeln
- 2 blaue Kugeln
- 5 grüne Kugeln
- Insgesamt also 10 Kugeln
- Es werden 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen
- Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P(beide Kugeln rot)
Schritt 2: Baumdiagramm erstellen
Wir erstellen ein Baumdiagramm, um die verschiedenen Möglichkeiten darzustellen.
Da wir ohne Zurücklegen ziehen, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten für die zweite Stufe, je nachdem was im ersten Zug gezogen wurde:
Wichtig: Bei Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich die Zusammensetzung der Urne nach dem ersten Zug. Wenn z.B. im ersten Zug eine rote Kugel gezogen wurde, sind nur noch 2 rote von insgesamt 9 verbliebenen Kugeln übrig.
Schritt 3: Berechnung mit der Pfadregel
Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass beide Kugeln rot sind, müssen wir dem entsprechenden Pfad im Baumdiagramm folgen:
Wir berechnen nun die einzelnen Wahrscheinlichkeiten:
- P(1. Kugel rot) = 3/10 = 0,3 (3 rote Kugeln von insgesamt 10 Kugeln)
- P(2. Kugel rot | 1. Kugel rot) = 2/9 = 0,222... (2 rote Kugeln von insgesamt 9 verbleibenden Kugeln)
Lösung
Die Wahrscheinlichkeit, dass beide gezogenen Kugeln rot sind, beträgt:
Erklärung
Die Wahrscheinlichkeit ist relativ gering, da:
- Nur 3 von 10 Kugeln sind zu Beginn rot
- Nach dem Ziehen einer roten Kugel sind nur noch 2 von 9 Kugeln rot
- Für das gewünschte Ereignis müssen beide Züge erfolgreich sein (UND-Verknüpfung)
Die Pfadregel, bei der wir die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizieren, führt zu dieser Lösung.