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\(f(x) = a \cdot (x - b)^2 + c\)
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Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen

Entdecke die elegante Scheitelpunktform der Parabel. Experimentiere mit Parametern, verstehe ihre Bedeutung und lerne, wie sie Form und Lage der Parabel beeinflussen.

Interaktives GeoGebra-Applet

Verwende die Schieberegler, um die Parameter der Scheitelpunktform \(f(x) = a \cdot (x - b)^2 + c\) anzupassen und ihre Auswirkungen zu beobachten.

Interaktive Übungsaufgaben

In diesen Übungen sollst du die Parameter einer quadratischen Funktion im GeoGebra-Applet so anpassen, dass sie die vorgegebenen Eigenschaften besitzt. Arbeite mit den Schiebereglern, bis deine Funktion die geforderte Form hat.

Übung 1: Normalparabel

Stelle im GeoGebra-Applet die Normalparabel ein:

  • Scheitelpunkt im Ursprung: \(S(0|0)\)
  • Keine Streckung oder Stauchung: \(a = 1\)

Dies entspricht der Grundform \(f(x) = x^2\)

Übung 2: Vertikale Verschiebung

Stelle eine Parabel mit folgenden Eigenschaften ein:

  • Scheitelpunkt: \(S(0|3)\)
  • Keine Streckung oder Stauchung: \(a = 1\)

Dies entspricht der Form \(f(x) = x^2 + 3\)

Übung 3: Horizontale Verschiebung

Stelle eine Parabel mit folgenden Eigenschaften ein:

  • Scheitelpunkt: \(S(2|0)\)
  • Keine Streckung oder Stauchung: \(a = 1\)

Dies entspricht der Form \(f(x) = (x - 2)^2\)

Übung 4: Gestreckte Parabel

Stelle eine Parabel mit folgenden Eigenschaften ein:

  • Scheitelpunkt: \(S(0|0)\)
  • Streckung mit Faktor \(a = 2\)

Dies entspricht der Form \(f(x) = 2 \cdot x^2\)

Übung 5: Kombination aller Parameter

Stelle eine Parabel mit folgenden Eigenschaften ein:

  • Scheitelpunkt: \(S(3|-2)\)
  • Stauchung mit Faktor \(a = 0.5\)

Dies entspricht der Form \(f(x) = 0.5 \cdot (x - 3)^2 - 2\)

Die Scheitelpunktform

Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion lautet:

\[ f(x) = a \cdot (x - b)^2 + c \]

Jeder Parameter hat eine wichtige Bedeutung:

  • a: Streckungsfaktor (Öffnung der Parabel)
  • b: x-Koordinate des Scheitelpunkts (horizontale Verschiebung)
  • c: y-Koordinate des Scheitelpunkts (vertikale Verschiebung)

Hinweis: Der Scheitelpunkt \(S(b|c)\) ist direkt aus der Funktionsgleichung ablesbar! Das macht die Scheitelpunktform besonders nützlich für Extremwertaufgaben und das Zeichnen von Parabeln.

Die Bedeutung der Parameter

Parameter a: Streckungsfaktor

Der Parameter a bestimmt die Öffnung und Orientierung der Parabel:

  • Für \(|a| > 1\): Die Parabel wird gestreckt (schmaler)
  • Für \(0 < |a| < 1\): Die Parabel wird gestaucht (breiter)
  • Für \(a > 0\): Die Parabel ist nach oben geöffnet
  • Für \(a < 0\): Die Parabel ist nach unten geöffnet (gespiegelt)

Je größer \(|a|\), desto steiler verläuft die Parabel.

Parameter b: horizontale Verschiebung

Der Parameter b verschiebt die Parabel horizontal:

  • Für \(b > 0\): Die Parabel wird um b Einheiten nach rechts verschoben
  • Für \(b < 0\): Die Parabel wird um \(|b|\) Einheiten nach links verschoben

Achtung: Das Vorzeichen in der Formel ist entscheidend!

\(f(x) = (x - 2)^2\) hat den Scheitelpunkt bei \(x = 2\) (nicht bei \(x = -2\))!

Parameter c: vertikale Verschiebung

Der Parameter c verschiebt die Parabel vertikal:

  • Für \(c > 0\): Die Parabel wird um c Einheiten nach oben verschoben
  • Für \(c < 0\): Die Parabel wird um \(|c|\) Einheiten nach unten verschoben

Der y-Wert des Scheitelpunkts ist gleichzeitig:

  • Das Minimum der Funktion (bei \(a > 0\))
  • Das Maximum der Funktion (bei \(a < 0\))

Scheitelpunkt ablesen

Der Scheitelpunkt kann direkt abgelesen werden:

\[ f(x) = a \cdot (x - b)^2 + c \quad \Rightarrow \quad S(b|c) \]

Beispiele:

  • \(f(x) = (x - 3)^2 + 2\) → \(S(3|2)\)
  • \(f(x) = 2 \cdot (x + 1)^2 - 4\) → \(S(-1|-4)\)
  • \(f(x) = -0.5 \cdot (x - 2)^2\) → \(S(2|0)\)

Umrechnung zwischen Darstellungsformen

Von Normalform zu Scheitelpunktform

Gegeben: \(f(x) = x^2 + 6x + 5\)

Methode: Quadratische Ergänzung

Schritt 1: x-Terme ausklammern

\(f(x) = x^2 + 6x + 5\)

Schritt 2: Quadratische Ergänzung

\(f(x) = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 5\)

Schritt 3: Binomische Formel anwenden

\(f(x) = (x + 3)^2 - 4\)

Ergebnis: Scheitelpunkt \(S(-3|-4)\)

Von Scheitelpunktform zu Normalform

Gegeben: \(f(x) = 2 \cdot (x - 3)^2 + 1\)

Methode: Ausmultiplizieren

Schritt 1: Binomische Formel anwenden

\(f(x) = 2 \cdot (x^2 - 6x + 9) + 1\)

Schritt 2: Ausmultiplizieren

\(f(x) = 2x^2 - 12x + 18 + 1\)

Schritt 3: Zusammenfassen

\(f(x) = 2x^2 - 12x + 19\)

Übungen zur Scheitelpunktform

Übung 1: Scheitelpunkt ablesen

Bestimme den Scheitelpunkt der folgenden Funktionen:

  1. \(f(x) = (x - 4)^2 + 7\)
  2. \(g(x) = 3 \cdot (x + 2)^2 - 5\)
  3. \(h(x) = -0.5 \cdot (x - 1)^2\)

Übung 2: Quadratische Ergänzung

Bringe die folgende Funktion in die Scheitelpunktform und bestimme den Scheitelpunkt:

\[ f(x) = x^2 - 8x + 12 \]

Übung 3: Funktionsgleichung aufstellen

Stelle die Funktionsgleichung einer Parabel in Scheitelpunktform auf, die folgende Eigenschaften hat:

  • Scheitelpunkt bei \(S(2|3)\)
  • Die Parabel verläuft durch den Punkt \(P(4|7)\)

Übung 4: Nullstellen berechnen

Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = 2 \cdot (x - 1)^2 - 8\).