f'(x)

dy/dx

∂

Ableitungsregeln

Lerne die wichtigsten Regeln zum Ableiten von Funktionen

Was ist eine Ableitung?

Die Ableitung einer Funktion beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion an einer bestimmten Stelle. Geometrisch entspricht die Ableitung der Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen.

Warum sind Ableitungen wichtig?

Sie zeigen die Steigung des Graphen an jeder Stelle
Sie helfen, Extremstellen zu finden (Hoch- und Tiefpunkte)
Sie beschreiben Geschwindigkeiten und Beschleunigungen
Sie sind Grundlage für viele Anwendungen in Physik und Technik

Notation

\(f'(x)\) - Lagrange-Notation (am häufigsten)
\(\frac{\text{d}f}{\text{d}x}\) - Leibniz-Notation
\(\dot{f}\) - Newton-Notation (Physik, für Zeit)
Höhere Ableitungen: \(f''(x)\), \(f'''(x)\), ...

Funktion und Ableitung visualisiert

Wähle eine Funktion und sieh, wie die Ableitung aussieht:

Wähle eine Funktion:

Funktion: \(f(x) = x^2\)
Ableitung: \(f'(x) = 2 \cdot x\)

Beobachtung: Die Ableitung \(f'(x)\) gibt die Steigung von \(f(x)\) an jeder Stelle an. Wo \(f(x)\) steigt, ist \(f'(x) > 0\). Wo \(f(x)\) fällt, ist \(f'(x) < 0\).

Grundlegende Ableitungsregeln

Diese Regeln brauchst du, um die Ableitung jeder Funktion zu berechnen. Lerne sie auswendig!

Ableitungen von Grundfunktionen

Potenzregel

\[ f(x) = x^n \quad \Rightarrow \quad f'(x) = n \cdot x^{n-1} \]

Regel: Der Exponent wird zum Faktor, dann wird der Exponent um 1 verringert.

Beispiele:

\(f(x) = x^2 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 2 \cdot x\)
\(f(x) = x^3 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 3 \cdot x^2\)
\(f(x) = x^{10} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 10 \cdot x^9\)
\(f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\)
\(f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)

Spezielle Funktionen

Diese Ableitungen musst du auswendig lernen:

\(f(x)\)	\(f'(x)\)
\(\sin(x)\)	\(\cos(x)\)
\(\cos(x)\)	\(-\sin(x)\)
\(\tan(x)\)	\(\frac{1}{\cos^2(x)}\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(a^x\)	\(\ln(a) \cdot a^x\)
\(\ln(x)\)	\(\frac{1}{x}\)

Besonderheit: Die e-Funktion ist die einzige Funktion, die sich beim Ableiten nicht ändert!

Rechenregeln für Ableitungen

Konstantenregel

\[ f(x) = c \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 0 \]

Regel: Die Ableitung einer Konstanten ist immer 0.

Beispiele:

\(f(x) = 5 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 0\)
\(f(x) = -3 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 0\)
\(f(x) = \pi \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 0\)

Faktorregel

\[ f(x) = k \cdot g(x) \] \[ f'(x) = k \cdot g'(x) \]

Regel: Konstante Faktoren bleiben beim Ableiten erhalten.

Beispiele:

\(f(x) = 5 \cdot x^2 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 5 \cdot 2 \cdot x = 10 \cdot x\)
\(f(x) = 3 \cdot \sin(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 3 \cdot \cos(x)\)

Summenregel

\[ f(x) = g(x) + h(x) \] \[ f'(x) = g'(x) + h'(x) \]

Regel: Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen.

Beispiele:

\(f(x) = x^2 + x^3 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 2 \cdot x + 3 \cdot x^2\)
\(f(x) = \sin(x) + \cos(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = \cos(x) - \sin(x)\)

Produktregel und Quotientenregel

Produktregel

\[ f(x) = g(x) \cdot h(x) \] \[ f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \]

Regel: "Ableitung des ersten mal zweites plus erstes mal Ableitung des zweiten"

Merkhilfe: \(u'v + uv'\)

Beispiel:

\(f(x) = x^2 \cdot \sin(x)\)

Setze: \(g(x) = x^2\), \(h(x) = \sin(x)\)

Also: \(g'(x) = 2 \cdot x\), \(h'(x) = \cos(x)\)

\[ \begin{align} f'(x) &= g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) \\ &= 2 \cdot x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x) \end{align} \]

Quotientenregel

\[ f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \] \[ f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2} \]

Regel: "Ableitung oben mal unten minus oben mal Ableitung unten, alles durch unten Quadrat"

Merkhilfe: \(\frac{u'v - uv'}{v^2}\) oder "NAZ minus ZAN durch Nenner hoch 2"

Beispiel:

\(f(x) = \frac{x^2}{x + 1}\)

Setze: \(g(x) = x^2\), \(h(x) = x + 1\)

Also: \(g'(x) = 2 \cdot x\), \(h'(x) = 1\)

\[ \begin{align} f'(x) &= \frac{2 \cdot x \cdot (x + 1) - x^2 \cdot 1}{(x + 1)^2} \\ &= \frac{2 \cdot x^2 + 2 \cdot x - x^2}{(x + 1)^2} \\ &= \frac{x^2 + 2 \cdot x}{(x + 1)^2} \end{align} \]

Kettenregel - Verkettete Funktionen ableiten

Kettenregel

\[ f(x) = h(g(x)) \quad \text{(äußere Funktion h, innere Funktion g)} \] \[ f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x) \]

Regel: "Äußere Ableitung mal innere Ableitung"

Vorgehen:

Identifiziere äußere und innere Funktion
Leite die äußere Funktion ab (innere bleibt!)
Multipliziere mit der Ableitung der inneren Funktion

Beispiel 1: \(f(x) = (x^2 + 1)^5\)

Äußere Funktion: \(h(z) = z^5\)

Innere Funktion: \(g(x) = x^2 + 1\)

\[ \begin{align} h'(z) &= 5 \cdot z^4 \\ g'(x) &= 2 \cdot x \\ \\ f'(x) &= 5 \cdot (x^2 + 1)^4 \cdot 2 \cdot x \\ &= 10 \cdot x \cdot (x^2 + 1)^4 \end{align} \]

Beispiel 2: \(f(x) = \sin(3 \cdot x)\)

Äußere Funktion: \(h(z) = \sin(z)\)

Innere Funktion: \(g(x) = 3 \cdot x\)

\[ \begin{align} h'(z) &= \cos(z) \\ g'(x) &= 3 \\ \\ f'(x) &= \cos(3 \cdot x) \cdot 3 \\ &= 3 \cdot \cos(3 \cdot x) \end{align} \]

Beispiel 3: \(f(x) = e^{-2 \cdot x}\)

Äußere Funktion: \(h(z) = e^z\)

Innere Funktion: \(g(x) = -2 \cdot x\)

\[ \begin{align} h'(z) &= e^z \\ g'(x) &= -2 \\ \\ f'(x) &= e^{-2 \cdot x} \cdot (-2) \\ &= -2 \cdot e^{-2 \cdot x} \end{align} \]

Beispiel 4: \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\)

Äußere Funktion: \(h(z) = \ln(z)\)

Innere Funktion: \(g(x) = x^2 + 1\)

\[ \begin{align} h'(z) &= \frac{1}{z} \\ g'(x) &= 2 \cdot x \\ \\ f'(x) &= \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2 \cdot x \\ &= \frac{2 \cdot x}{x^2 + 1} \end{align} \]

Achtung: Manchmal muss die Kettenregel mehrfach angewendet werden, z.B. bei \(f(x) = \sin^2(3 \cdot x) = (\sin(3 \cdot x))^2\)

Übersicht: Alle Ableitungsregeln

Funktion \(f(x)\)	Ableitung \(f'(x)\)	Regel
\(c\)	\(0\)	Konstantenregel
\(x^n\)	\(n \cdot x^{n-1}\)	Potenzregel
\(k \cdot g(x)\)	\(k \cdot g'(x)\)	Faktorregel
\(g(x) + h(x)\)	\(g'(x) + h'(x)\)	Summenregel
\(g(x) \cdot h(x)\)	\(g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)\)	Produktregel
\(\frac{g(x)}{h(x)}\)	\(\frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2}\)	Quotientenregel
\(h(g(x))\)	\(h'(g(x)) \cdot g'(x)\)	Kettenregel
\(\sin(x)\)	\(\cos(x)\)	-
\(\cos(x)\)	\(-\sin(x)\)	-
\(e^x\)	\(e^x\)	-
\(\ln(x)\)	\(\frac{1}{x}\)	-

Übungen

Bestimme die erste Ableitung der folgenden Funktionen. Klicke auf "Lösung anzeigen" um die Lösung mit Rechenweg zu sehen.

Übung 1: \(f(x) = \sin(x) \cdot \cos(x)\)

Übung 2: \(g(u) = (5 \cdot u^4 - 3 \cdot u^2 + u)^6\)

Übung 3: \(h(z) = \frac{z - 1}{z^2 + 1}\)

Übung 4: \(s(t) = e^{-2 \cdot t}\)

Übung 5: \(f(x) = x^2 - 2^x\)

Übung 6: \(g(u) = \tan(\sqrt{u^2 - 1})\)

Übung 7: \(h(z) = e^z \cdot \sin(3 \cdot z)\)

Übung 8: \(s(t) = \sin^2(t) + \cos^2(t)\)

Was du können solltest

Potenzregel anwenden (\(x^n \rightarrow n \cdot x^{n-1}\))
Ableitungen von sin, cos, e^x, ln(x) kennen
Summen und Faktoren ableiten
Produktregel verwenden
Quotientenregel anwenden
Kettenregel bei verketteten Funktionen nutzen

Tipps

Lerne die Grundableitungen auswendig
Bei komplizierten Funktionen: Schritt für Schritt vorgehen
Identifiziere zuerst, welche Regel du brauchst
Kettenregel oft bei Klammern und Funktionen "in Funktionen"
Übe regelmäßig - Ableiten ist Übungssache!