\(f_a(x)\)

Parameter a

\(a \in \mathbb{R}\)

Funktionsscharen

Verstehe parameterabhängige Funktionen und ihre Untersuchung mit interaktiven Visualisierungen

Was sind Funktionsscharen?

Eine Funktionsschar (oder Kurvenschar) ist eine Familie von Funktionen, die von einem oder mehreren Parametern abhängen. Jeder konkrete Parameterwert liefert eine spezielle Funktion der Schar.

\[ f_a(x) = a \cdot x^2 \quad \text{mit Parameter } a \in \mathbb{R} \]

Für jeden Wert von \(a\) erhalten wir eine andere Parabel. Zum Beispiel:

\(a = 1\): \(f_1(x) = x^2\) (Normalparabel)
\(a = 2\): \(f_2(x) = 2 \cdot x^2\) (gestreckte Parabel)
\(a = -1\): \(f_{-1}(x) = -x^2\) (nach unten geöffnet)

Notation

\(f_a(x)\) - Funktionsschar mit Parameter \(a\)
\(f_t(x)\) - Häufig auch Parameter \(t\) (für "time")
\(f_k(x)\) - Oder Parameter \(k\) (für "konstante")
Der Parameter steht im Index

Untersuchung

Bei Funktionsscharen untersucht man:

Nullstellen (abhängig von \(a\))
Extremstellen (abhängig von \(a\))
Wendestellen (abhängig von \(a\))
Besondere Punkte (für alle \(a\) gleich)

Visualisierung: Quadratische Funktionsschar

Betrachte die quadratische Funktionsschar: \[ f_a(x) = a \cdot x^2 \quad \text{mit } a \in \{-2, -1, -0.5, 0.5, 1, 2\} \]

Beobachte, wie sich die Parabel für verschiedene Werte von \(a\) verändert:

Beobachtung: Der Parameter \(a\) streckt oder staucht die Parabel. Bei negativem \(a\) ist sie nach unten geöffnet. Alle Graphen haben einen gemeinsamen Punkt: den Ursprung \((0, 0)\)!

Funktionsscharen verschiedener Funktionstypen

Funktionsscharen gibt es für alle Funktionstypen. Wähle einen Typ, um die Schar zu visualisieren und eine kurze Funktionsuntersuchung zu sehen:

Funktionsschar:

GeoGebra: Funktionsscharen eingeben und untersuchen

Ortskurven berechnen

Eine Ortskurve (oder Ortslinie) ist die Kurve, auf der alle Punkte mit einer bestimmten Eigenschaft liegen (z.B. alle Extrempunkte oder alle Wendepunkte einer Funktionsschar).

Vorgehensweise:

Beispiel: Ortskurve der Extrempunkte von \(f_a(x) = x^3 - 3 \cdot a \cdot x^2 + 2\)

Extremstellen berechnen:
\(f'_a(x) = 3x^2 - 6ax = 0\)
\(\Rightarrow x_1 = 0\) und \(x_2 = 2a\)
y-Koordinaten der Extrempunkte:
\(E_1(0 \mid 2)\) (für alle \(a\))
\(E_2(2a \mid -4a^3 + 2)\) (abhängig von \(a\))
Parameter eliminieren:
Aus \(x = 2a\) folgt \(a = \frac{x}{2}\)
Einsetzen in \(y = -4a^3 + 2\):
\[ \begin{align} y &= -4 \cdot \left(\frac{x}{2}\right)^3 + 2 \\ &= -4 \cdot \frac{x^3}{8} + 2 \\ &= -\frac{x^3}{2} + 2 \end{align} \]

Ortskurve der Extrempunkte: \(y = -\frac{1}{2}x^3 + 2\)

Wichtig: Im CAS-Modus von GeoGebra lassen sich Ortskurven nicht automatisch darstellen. Du musst die Ortskurve händisch berechnen (wie oben gezeigt) und dann als separate Funktion eingeben.

Beispiel-Funktionsschar: \(f_a(x) = x^3 - 3 \cdot a \cdot x^2 + 2\)

Im GeoGebra-Applet:

Gut zu wissen: Die Funktion \(f_a(x)\) und alle Berechnungen sind bereits vordefiniert! In der Algebra-Ansicht links musst du nach oben scrollen, um alle Befehle zu sehen.

Wichtige Eingabe-Regeln in GeoGebra:

1. Multiplikation zwischen Parameter und Variable:

Wichtig: Zwischen Parameter und Variable muss ein Malzeichen · stehen!

Richtig: 3a·x^2 (· zwischen a und x)
Falsch: 3ax^2 (wird als Variable "ax" erkannt)

Tipp: Zwischen Zahl und Parameter (3a) ist kein Malzeichen nötig, aber zwischen Parameter und Variable (a·x) schon!

2. Zwei Funktionen - zwei Zwecke:

Im Applet gibt es zwei Funktionen mit unterschiedlichen Aufgaben:

\(f_a(x)\) mit Parameter \(a\): Für Berechnungen (Ableitungen, Lösen von Gleichungen)
\(g_k(x)\) mit Schieberegler \(k\): Für Visualisierung (Graph im Koordinatensystem sehen)

Vorteil: Du kannst mit dem Schieberegler \(k\) die Auswirkung des Parameters sehen, aber mit \(f_a(x)\) normal rechnen (z.B. Extremstellen mit Löse(f'_a(x) = 0) berechnen).

Vordefinierte Befehle:

f_a(x) = x³ - 3a·x² + 2
→ Funktionsschar mit symbolischem Parameter \(a\) für Berechnungen
k = 1
→ Schieberegler für Parameter \(k\) (Klicke auf die 3 Punkte rechts, um den Schieberegler zu erstellen)
g_k(x) = x³ - 3k·x² + 2
→ Visualisierung mit Schieberegler \(k\) (bewege den Schieberegler!)
f'_a(x)
→ Erste Ableitung: \(3x^2 - 6ax\)
Löse(f'_a(x) = 0)
→ Extremstellen: \(\{x = 0, x = 2a\}\)
f''_a(x)
→ Zweite Ableitung: \(-6a + 6x\)
f''_a(2a) und f''_a(0)
→ Hinreichende Bedingung für Extremstellen (beinhaltet \(f'_a(x) = 0\) und \(f''_a(x) \neq 0\)): Prüfung auf Maximum/Minimum
f_a(2a) und f_a(0)
→ Y-Koordinaten der Extrempunkte
Löse(f''_a(x) = 0)
→ Wendestellen: \(\{x = a\}\)
f'''_a(x)
→ Dritte Ableitung: \(6\)
f'''_a(a)
→ Hinreichende Bedingung für Wendestellen (beinhaltet \(f''_a(x) = 0\) und \(f'''_a(x) \neq 0\))
f_a(a)
→ Y-Koordinate des Wendepunkts

Textaufgabe: Funktionsschar untersuchen

Aufgabe: Brückenkonstruktion

Eine Familie von Brückenbögen wird durch die Funktionsschar

\[ f_a(x) = -\frac{1}{a} \cdot x^2 + 4 \quad \text{mit } a > 0 \]

beschrieben, wobei \(x\) die horizontale Entfernung vom Scheitelpunkt (in Metern) und \(f_a(x)\) die Höhe des Bogens (in Metern) angibt.

a) Bestimme die Nullstellen von \(f_a(x)\) in Abhängigkeit von \(a\). Was bedeuten diese geometrisch?

b) Welche Höhe hat der Scheitelpunkt des Bogens? Ist diese abhängig von \(a\)?

c) Für welchen Wert von \(a\) hat der Bogen eine Spannweite von 8 Metern?

d) Bestimme den Wert von \(a\), für den der Bogen an der Stelle \(x = 2\) eine Höhe von 3 Metern hat.

Lösung:

a) Nullstellen:

\[ \begin{align} f_a(x) &= 0 \\ -\frac{1}{a} \cdot x^2 + 4 &= 0 \\ -\frac{1}{a} \cdot x^2 &= -4 \\ x^2 &= 4a \\ x &= \pm 2\sqrt{a} \end{align} \]

Geometrische Bedeutung: Die Nullstellen geben die Stellen an, wo der Bogen den Boden berührt. Die Spannweite des Bogens beträgt \(4\sqrt{a}\) Meter (Abstand zwischen den beiden Nullstellen).

b) Scheitelpunkt:

Die Funktion ist in Scheitelpunktform: \(f_a(x) = -\frac{1}{a}(x - 0)^2 + 4\)

Der Scheitelpunkt liegt bei \(S(0, 4)\).

Antwort: Die Höhe des Scheitelpunkts beträgt 4 Meter und ist unabhängig von \(a\)! Dies ist ein gemeinsamer Punkt aller Funktionen der Schar.

c) Spannweite von 8 Metern:

Die Spannweite ist der Abstand zwischen den Nullstellen: \(4\sqrt{a} = 8\)

\[ \begin{align} 4\sqrt{a} &= 8 \\ \sqrt{a} &= 2 \\ a &= 4 \end{align} \]

Antwort: Für \(a = 4\) hat der Bogen eine Spannweite von 8 Metern.

d) Höhe 3 Meter bei \(x = 2\):

Setze \(x = 2\) und \(f_a(2) = 3\) ein:

\[ \begin{align} f_a(2) &= 3 \\ -\frac{1}{a} \cdot 2^2 + 4 &= 3 \\ -\frac{4}{a} + 4 &= 3 \\ -\frac{4}{a} &= -1 \\ \frac{4}{a} &= 1 \\ a &= 4 \end{align} \]

Antwort: Für \(a = 4\) hat der Bogen an der Stelle \(x = 2\) eine Höhe von 3 Metern.

Zusammenfassung:

Alle Bögen haben den gleichen Scheitelpunkt \(S(0, 4)\)
Der Parameter \(a\) steuert die "Breite" des Bogens
Größeres \(a\) → breiterer Bogen
Für \(a = 4\): Spannweite 8 m, Höhe bei \(x = 2\) ist 3 m

Wichtige Begriffe

Funktionsschar: Familie von Funktionen mit Parameter
Parameter: Variable im Index (z.B. \(a\), \(t\), \(k\))
Gemeinsame Punkte: Punkte, die für alle \(a\) gleich sind
Ortskurve: Kurve durch alle Extrempunkte/Wendepunkte

Untersuchungsschritte

Nullstellen in Abhängigkeit von \(a\) bestimmen
Extremstellen berechnen (1. und 2. Ableitung)
Wendestellen berechnen (2. und 3. Ableitung)
Gemeinsame Punkte finden (für alle \(a\) gültig)
Ortskurven bestimmen (falls gefordert)