\(\frac{f(x)}{g(x)}\)

Polstelle

x = a

Gebrochenrationale Funktionen

Verstehe Definitionslücken, Polstellen und Asymptoten mit interaktiven Visualisierungen

Was sind gebrochenrationale Funktionen?

Eine gebrochenrationale Funktion ist eine Funktion, die als Quotient zweier Polynome dargestellt wird:

\[ f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{a_n \cdot x^n + \ldots + a_1 \cdot x + a_0}{b_m \cdot x^m + \ldots + b_1 \cdot x + b_0} \]

Dabei sind \(p(x)\) und \(q(x)\) Polynome. Der Zähler \(p(x)\) und der Nenner \(q(x)\) dürfen keine gemeinsamen Nullstellen haben (nicht kürzbar sein).

Wichtige Eigenschaften

Definiert für alle \(x\), für die \(q(x) \neq 0\)
Kann Definitionslücken haben (Nenner = 0)
Kann Asymptoten haben (senkrecht oder waagerecht)
Verhalten an Definitionslücken ist wichtig!

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist:

\[ D = \mathbb{R} \setminus \{x \in \mathbb{R} \mid q(x) = 0\} \]

Das bedeutet: Alle reellen Zahlen außer den Nullstellen des Nenners!

Aufbau und Vorgehen

Schritt-für-Schritt-Analyse

1. Definitionsbereich bestimmen

Setze den Nenner gleich Null:

\(q(x) = 0\) lösen → Definitionslücken

2. Faktorisierung

Zerlege Zähler und Nenner in Faktoren:

\(f(x) = \frac{(x-a)(x-b)}{(x-c)(x-d)}\)

3. Kürzen (wenn möglich)

Gemeinsame Faktoren kürzen:

→ Hebbare Definitionslücke

4. Polstellen untersuchen

Nicht kürzbare Nullstellen im Nenner:

→ Polstelle (mit/ohne VZW)

Wichtig: Eine "echte" gebrochenrationale Funktion hat Zähler und Nenner ohne gemeinsame Nullstellen (nicht kürzbar). Nach dem Kürzen erhältst du die gekürzte Form!

Definitionslücken: Hebbare Lücke vs. Polstelle

Wenn der Nenner an einer Stelle \(x = a\) null wird, entsteht eine Definitionslücke. Es gibt zwei Arten von Definitionslücken:

Eigenschaft	Hebbare Definitionslücke	Polstelle
Definition	Faktor \((x-a)\) im Zähler und Nenner → kürzbar	Faktor \((x-a)\) nur im Nenner → nicht kürzbar
Grenzwert	\(\lim_{x \to a} f(x)\) existiert und ist endlich	\(\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty\)
Graph	"Loch" im Graphen, kann geschlossen werden	Graph nähert sich einer senkrechten Asymptote
Beispiel	\(f(x) = \frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+3)}\) bei \(x=2\)	\(f(x) = \frac{x+1}{(x-2)(x+3)}\) bei \(x=2\)

Interaktive Visualisierung

Wähle ein Beispiel, um den Unterschied zu sehen:

Funktion:
Typ:

Polstellen: Mit oder ohne Vorzeichenwechsel?

Der Grad der Nullstelle im Nenner entscheidet, ob eine Polstelle einen Vorzeichenwechsel hat:

Mit Vorzeichenwechsel

Bedingung: Nullstelle im Nenner hat ungeraden Grad

\[ f(x) = \frac{p(x)}{(x-a)^{2k+1} \cdot q(x)} \]

mit \(k \in \mathbb{N}_0\)

Beispiel:

\(f(x) = \frac{1}{x-2}\) oder \(f(x) = \frac{1}{(x-2)^3}\)

Verhalten: Von links \(-\infty\), von rechts \(+\infty\) (oder umgekehrt)

Ohne Vorzeichenwechsel

Bedingung: Nullstelle im Nenner hat geraden Grad

\[ f(x) = \frac{p(x)}{(x-a)^{2k} \cdot q(x)} \]

mit \(k \in \mathbb{N}\)

Beispiel:

\(f(x) = \frac{1}{(x-2)^2}\) oder \(f(x) = \frac{1}{(x-2)^4}\)

Verhalten: Von beiden Seiten \(+\infty\) (oder beide \(-\infty\))

Merksatz:

Ungerader Grad (1, 3, 5, ...) → Vorzeichen wechselt (VZW)
Gerader Grad (2, 4, 6, ...) → Vorzeichen bleibt gleich (kein VZW)

Links- und rechtsseitiger Grenzwert

Um das Verhalten an einer Polstelle genau zu verstehen, berechnen wir den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert.

Notation

Linksseitiger Grenzwert:

\[ \lim_{x \to a^-} f(x) \quad \text{oder} \quad \lim_{x \nearrow a} f(x) \]

(Von links, also \(x < a\))

Rechtsseitiger Grenzwert:

\[ \lim_{x \to a^+} f(x) \quad \text{oder} \quad \lim_{x \searrow a} f(x) \]

(Von rechts, also \(x > a\))

Händische Berechnung

Beispiel: \(f(x) = \frac{x-2}{x-3}\) an der Stelle \(x = 3\)

Schritt 1: Faktorisiere die Funktion (bereits getan)

Schritt 2: Linksseitiger Grenzwert (\(x \to 3^-\), also \(x < 3\))

Setze \(x\) etwas kleiner als 3, z.B. \(x = 3 - \epsilon\) mit \(\epsilon > 0\) sehr klein:

\[ \begin{align} \text{Zähler: } & x - 2 = (3 - \epsilon) - 2 = 1 - \epsilon > 0 \\ \text{Nenner: } & x - 3 = (3 - \epsilon) - 3 = -\epsilon < 0 \\ \\ \lim_{x \to 3^-} f(x) &= \frac{\text{positive Zahl}}{\text{negative Zahl}} = -\infty \end{align} \]

Schritt 3: Rechtsseitiger Grenzwert (\(x \to 3^+\), also \(x > 3\))

Setze \(x\) etwas größer als 3, z.B. \(x = 3 + \epsilon\) mit \(\epsilon > 0\) sehr klein:

\[ \begin{align} \text{Zähler: } & x - 2 = (3 + \epsilon) - 2 = 1 + \epsilon > 0 \\ \text{Nenner: } & x - 3 = (3 + \epsilon) - 3 = +\epsilon > 0 \\ \\ \lim_{x \to 3^+} f(x) &= \frac{\text{positive Zahl}}{\text{positive Zahl}} = +\infty \end{align} \]

Ergebnis: Die Grenzwerte haben unterschiedliche Vorzeichen → Polstelle mit VZW

Mit GeoGebra berechnen

GeoGebra bietet spezielle Befehle für Grenzwerte:

LinksseitigerGrenzwert(<Funktion>, <Wert>)

Beispiel: LinksseitigerGrenzwert((x-2)/(x-3), 3)

RechtsseitigerGrenzwert(<Funktion>, <Wert>)

Beispiel: RechtsseitigerGrenzwert((x-2)/(x-3), 3)

Tipp: GeoGebra gibt bei \(\pm\infty\) die Richtung an. Du kannst auch beide Grenzwerte gleichzeitig mit Grenzwert(<Funktion>, <Wert>) berechnen (wenn sie übereinstimmen).

Asymptoten berechnen: Polynomdivision

Das Globalverhalten (Verhalten für \(x \to \pm\infty\)) wird durch Asymptoten beschrieben. Die Art der Asymptote hängt vom Verhältnis der Grade von Zähler und Nenner ab.

Welche Asymptote gibt es?

Bedingung	Art der Asymptote	Beispiel
Zählergrad < Nennergrad	Waagerechte Asymptote \(y = 0\) (x-Achse)	\(f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}\)
Zählergrad = Nennergrad	Waagerechte Asymptote \(y = \frac{a_n}{b_n}\) (Verhältnis der Leitkoeffizienten)	\(f(x) = \frac{2x^2 + 1}{x^2 - 3}\) → \(y = 2\)
Zählergrad = Nennergrad + 1	Schräge Asymptote \(y = mx + b\) (Polynomdivision nötig!)	\(f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}\)
Zählergrad > Nennergrad + 1	Keine waagerechte/schräge Asymptote (Parabel, Kubik, etc.)	\(f(x) = \frac{x^3}{x}\)

Merksatz: Wenn der Zählergrad um genau 1 größer ist als der Nennergrad, gibt es eine schräge Asymptote. Diese findest du mit Polynomdivision!

Polynomdivision: Schritt für Schritt

Beispiel: \(f(x) = \frac{x^2 + 3x - 2}{x - 1}\)

Ziel: Finde die schräge Asymptote durch Polynomdivision

Vorgehen:

Dividiere den Zähler durch den Nenner (wie bei Zahlen)
Das Ergebnis ist \(q(x) + \frac{r(x)}{n(x)}\) (Quotient + Rest/Nenner)
Die Asymptote ist \(y = q(x)\) (der Quotient ohne Rest)

Schriftliche Division:

    (x² + 3x - 2) : (x - 1) = x + 4  +  2
                                          x-1

    ① x² dividiert durch x = x
       x · (x - 1) = x² - x

       (x² + 3x - 2) - (x² - x) = 4x - 2
       ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾

    ② 4x dividiert durch x = 4
       4 · (x - 1) = 4x - 4

       (4x - 2) - (4x - 4) = 2
       ‾‾‾‾‾‾‾

    ③ Rest: 2 (kann nicht mehr durch (x-1) geteilt werden)

Ergebnis der Division:

\[ f(x) = \frac{x^2 + 3x - 2}{x - 1} = x + 4 + \frac{2}{x - 1} \]

Interpretation:

Quotient: \(q(x) = x + 4\) → Das ist die schräge Asymptote!
Rest: \(\frac{2}{x - 1}\) → Für große \(|x|\) geht dieser Term gegen 0

Schräge Asymptote: \(y = x + 4\)

Für \(x \to \pm\infty\) nähert sich der Graph der Geraden \(y = x + 4\) an.

Beispiel 2: Noch eine schräge Asymptote

\(g(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 1}\)

Hinweis: Der Zähler lässt sich faktorisieren: \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\) (3. binomische Formel)

Polynomdivision:

    (x² - 4) : (x + 1) = x - 1  +  -3
                                       x+1

    ① x² dividiert durch x = x
       x · (x + 1) = x² + x

       (x² - 4) - (x² + x) = -x - 4
       ‾‾‾‾‾‾‾

    ② -x dividiert durch x = -1
       -1 · (x + 1) = -x - 1

       (-x - 4) - (-x - 1) = -3
       ‾‾‾‾‾‾‾

    ③ Rest: -3 (kann nicht mehr durch (x+1) geteilt werden)

Ergebnis der Division:

\[ g(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 1} = x - 1 + \frac{-3}{x + 1} \]

Interpretation:

Quotient: \(q(x) = x - 1\) → Das ist die schräge Asymptote!
Rest: \(\frac{-3}{x + 1}\) → Für große \(|x|\) geht dieser Term gegen 0
Bei \(x = -1\) gibt es eine Polstelle (Nenner = 0)

Schräge Asymptote: \(y = x - 1\)

Die Funktion nähert sich für \(x \to \pm\infty\) der Geraden \(y = x - 1\) an.

Mit GeoGebra: Division-Befehl

GeoGebra kann Polynomdivision automatisch durchführen:

Division(<Zähler>, <Nenner>)

Beispiele:

Beispiel 1:

Division(x^2 + 3x - 2, x - 1)

Ausgabe: \(\{x + 4, 2\}\)
→ Asymptote: \(y = x + 4\)

Beispiel 2:

Division(x^2 - 4, x + 1)

Ausgabe: \(\{x - 1, -3\}\)
→ Asymptote: \(y = x - 1\)

Tipp: Der erste Wert ist der Quotient (= Asymptote), der zweite Wert ist der Rest. Du kannst direkt Division(x^2 + 3x - 2, x - 1)[1] eingeben, um nur den Quotienten zu erhalten.

Zusammenfassung: Asymptoten finden

Vergleiche Grade: Zählergrad und Nennergrad
Gleicher Grad: Asymptote = Verhältnis der Leitkoeffizienten
Zähler 1 Grad höher: Polynomdivision → schräge Asymptote
In GeoGebra: Division(Zähler, Nenner) verwenden

Interaktives GeoGebra-Applet

Untersuche die Beispielfunktion: \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - x - 6}\)

Tipp zur Eingabe in GeoGebra: Es kann von Vorteil sein, Zähler und Nenner zunächst als separate Funktionen einzugeben:

o(x) = x^2 - 4 (für "oben" = Zähler)
u(x) = x^2 - x - 6 (für "unten" = Nenner)
f(x) = o(x) / u(x)

So kannst du Zähler und Nenner separat analysieren und deren Nullstellen einzeln betrachten.

Interaktion: Im GeoGebra-Applet kannst du:

Die Funktion und ihre Eigenschaften untersuchen
Nullstellen von Zähler und Nenner mit Nullstelle(o) und Nullstelle(u) berechnen
Grenzwerte mit LinksseitigerGrenzwert() und RechtsseitigerGrenzwert() berechnen
Die Asymptote mit Division() ermitteln
Definitionslücken und Polstellen visualisieren

Übungen

Untersuche die folgenden Funktionen auf Definitionslücken, Art und Verhalten:

Übung 1: \(f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 5 \cdot x + 6}\)

Bestimme:

Definitionsbereich
Gekürzte Form
Art der Definitionslücken

Übung 2: \(g(x) = \frac{x+1}{(x-1)^2}\)

Bestimme:

Definitionsbereich
Art der Definitionslücke
Links- und rechtsseitiger Grenzwert bei \(x=1\)

Übung 3: \(h(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4}\)

Untersuche vollständig:

Definitionsbereich
Faktorisierung und Kürzen
Alle Definitionslücken klassifizieren

Übung 4: \(k(x) = \frac{2x}{(x-3)^3}\)

Bestimme:

Art der Polstelle bei \(x=3\)
Grenzwerte (händisch begründen)
Senkrechte Asymptote

Hebbare Lücke

Faktor kürzbar
Grenzwert endlich
"Loch" im Graph
Keine Asymptote

Polstelle mit VZW

Ungerader Grad
Vorzeichenwechsel
\(-\infty\) und \(+\infty\)
Senkrechte Asymptote

Polstelle ohne VZW

Gerader Grad
Kein Vorzeichenwechsel
Beide \(+\infty\) oder beide \(-\infty\)
Senkrechte Asymptote