∫
lim
∞

Uneigentliche Integrale

Wenn Grenzen verschwinden – Integrale über unendliche Intervalle und Polstellen

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Einführung und Motivation

Bisher hast du bestimmte Integrale der Form \[\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\] kennengelernt, bei denen sowohl die Grenzen \(a\) und \(b\) endlich sind als auch der Integrand \(f\) auf dem gesamten Intervall \([a,b]\) stetig ist.

In vielen Anwendungen — etwa in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, der Physik oder der Wirtschaftsmathematik — möchte man jedoch über unendliche Intervalle integrieren oder Funktionen integrieren, die an einer Stelle eine Polstelle haben. Solche Integrale heißen uneigentliche Integrale.

Leitfrage: Kann eine unendlich ausgedehnte Fläche einen endlichen Flächeninhalt besitzen?

Die überraschende Antwort lautet: Ja, manchmal schon. Der Graph zeigt den Unterschied: Die Fläche unter \(1/x^2\) ist endlich (gleich 1), während die Fläche unter \(1/x\) unbeschränkt wächst.

Zwei Typen uneigentlicher Integrale

Man unterscheidet zwei grundlegende Typen. In beiden Fällen ist das Integral nicht direkt als bestimmtes Integral berechenbar, sondern muss über einen Grenzwert definiert werden.

Typ I – Unbeschränktes Intervall

Mindestens eine Integrationsgrenze ist \(\pm\infty\), z. B.

\[\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x\]

Typ II – Polstelle im Intervall

Der Integrand hat eine Polstelle innerhalb oder am Rand des Intervalls, z. B.

\[\int_0^{1} \frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x\]

Definition: Uneigentliche Integrale vom Typ I

Sei \(f\) auf \([a,\infty)\) stetig. Existiert der Grenzwert

\[\int_a^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x \;:=\; \lim_{u\to\infty} \int_a^{u} f(x)\,\mathrm{d}x,\]

so heißt das uneigentliche Integral konvergent, andernfalls divergent.

Ist \(f\) auf \((-\infty, b]\) stetig, so setzt man

\[\int_{-\infty}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x \;:=\; \lim_{u\to-\infty} \int_{u}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x.\]

Ist \(f\) auf ganz \(\mathbb{R}\) stetig, so wählt man eine beliebige Zwischenstelle \(c\in\mathbb{R}\) und setzt

\[\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x \;:=\; \int_{-\infty}^{c} f(x)\,\mathrm{d}x \;+\; \int_{c}^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x.\]

Das Integral konvergiert nur, wenn beide Teilintegrale konvergieren. Der Wert ist unabhängig von der Wahl von \(c\).

⚠ Achtung: Es ist nicht zulässig, \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x\) als \(\lim_{u\to\infty}\int_{-u}^{u} f(x)\,\mathrm{d}x\) zu definieren! Bei Funktionen wie \(f(x)=x\) würde dies fälschlich den Wert \(0\) liefern, obwohl das Integral divergiert.

Definition: Uneigentliche Integrale vom Typ II

Sei \(f\) auf \([a,b)\) stetig und besitze in \(b\) eine Polstelle. Dann definiert man

\[\int_a^{b} f(x)\,\mathrm{d}x \;:=\; \lim_{u\to b^-} \int_a^{u} f(x)\,\mathrm{d}x.\]

Ist \(f\) auf \((a,b]\) stetig mit Polstelle in \(a\), so setzt man

\[\int_a^{b} f(x)\,\mathrm{d}x \;:=\; \lim_{u\to a^+} \int_u^{b} f(x)\,\mathrm{d}x.\]

Liegt eine Polstelle an einer inneren Stelle \(p\in(a,b)\), so zerlegt man:

\[\int_a^{b} f(x)\,\mathrm{d}x \;:=\; \int_a^{p} f(x)\,\mathrm{d}x \;+\; \int_p^{b} f(x)\,\mathrm{d}x,\]

wobei wieder beide Teilintegrale für sich konvergieren müssen.

Schritt-für-Schritt: Wie geht man vor?

Bei jedem uneigentlichen Integral verfährt man stets nach demselben Schema:

  1. Problemstelle identifizieren: Wo liegt die „kritische" Grenze (unendlich oder Polstelle)?
  2. Grenze ersetzen: Die kritische Grenze durch die Variable \(u\) ersetzen.
  3. Integral mit \(u\) berechnen: Zunächst das nun eigentliche Integral mit dem Hauptsatz vollständig berechnen — das Ergebnis ist ein Term in \(u\).
  4. Erst dann Grenzübergang: Im letzten Schritt den Grenzwert \(u \to \infty\) bzw. \(u \to b^-\) bzw. \(u \to a^+\) bilden.
  5. Bewerten: Existiert der Grenzwert? → konvergent; existiert er nicht → divergent.
Wichtig: Die strikte Trennung zwischen Schritt 3 (Integration) und Schritt 4 (Grenzwert) ist kein Selbstzweck — sie zwingt dazu, mit eigentlichen Integralen sauber zu arbeiten, und macht den Konvergenzcharakter erst am Ende sichtbar.

Klassische Beispiele mit ausführlichen Lösungen

Beispiel 1: Konvergenz bei \(1/x^2\)

Aufgabe: Untersuche \(\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x\) auf Konvergenz und berechne ggf. den Wert.

Schritt 1 – Integration mit oberer Grenze \(u\):

\[ \int_1^{u} \frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x = \left[-\frac{1}{x}\right]_1^{u} = -\frac{1}{u} + 1 = 1 - \frac{1}{u} \]

Schritt 2 – Grenzübergang:

\[ \lim_{u\to\infty}\left(1 - \frac{1}{u}\right) = 1 \]

Ergebnis: Das Integral konvergiert mit dem Wert \(\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x = 1\).

Geometrische Deutung: Die Fläche unter der Hyperbel \(y=1/x^2\) rechts von \(x=1\) ist trotz unendlicher Ausdehnung endlich gleich \(1\).

Beispiel 2: Divergenz bei \(1/x\)

Aufgabe: Untersuche \(\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x\).

Schritt 1 – Integration mit oberer Grenze \(u\):

\[ \int_1^{u} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \bigl[\ln x\bigr]_1^{u} = \ln u - \ln 1 = \ln u \]

Schritt 2 – Grenzübergang:

\[ \lim_{u\to\infty} \ln u = \infty \]

Ergebnis: Das Integral divergiert.

Bemerkenswert: Obwohl \(1/x\) und \(1/x^2\) optisch sehr ähnlich aussehen, fällt \(1/x\) zu langsam ab — die Fläche wächst unbeschränkt.

Interaktiv: Konvergenz vs. Divergenz

Integralwert: 0.6667

Beispiel 3: Polstelle am Rand — \(1/\sqrt{x}\)

Aufgabe: Untersuche \(\displaystyle\int_0^{1} \frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x\).

Der Integrand hat in \(x=0\) eine Polstelle. Wir ersetzen die untere Grenze durch \(u>0\).

Schritt 1 – Integration mit der unteren Grenze \(u\):

\[ \int_u^{1} x^{-1/2}\,\mathrm{d}x = \bigl[2\sqrt{x}\bigr]_u^{1} = 2 - 2\sqrt{u} \]

Schritt 2 – Grenzübergang:

\[ \lim_{u\to 0^+}\left(2 - 2\sqrt{u}\right) = 2 \]

Ergebnis: Das Integral konvergiert mit dem Wert \(2\).

Beispiel 4: Divergenz bei Polstelle — \(1/x\)

Aufgabe: Untersuche \(\displaystyle\int_0^{1} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x\).

Polstelle in \(x=0\); untere Grenze durch \(u\) ersetzen.

Schritt 1 – Integration mit der unteren Grenze \(u\):

\[ \int_u^{1} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \bigl[\ln x\bigr]_u^{1} = \ln 1 - \ln u = -\ln u \]

Schritt 2 – Grenzübergang:

\[ \lim_{u\to 0^+}(-\ln u) = \infty \]

Ergebnis: Das Integral divergiert.

Beispiel 5: Beidseitig unendlich — \(1/(1+x^2)\)

Aufgabe: Berechne \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x\).

Wir wählen \(c=0\) und untersuchen beide Teilintegrale getrennt.

Rechter Teil:

\[ \int_0^{u} \frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x = \bigl[\arctan(x)\bigr]_0^{u} = \arctan(u) \] \[ \lim_{u\to\infty} \arctan(u) = \frac{\pi}{2} \]

Linker Teil:

\[ \int_u^{0} \frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x = \bigl[\arctan(x)\bigr]_u^{0} = -\arctan(u) \] \[ \lim_{u\to-\infty}\bigl(-\arctan(u)\bigr) = -\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} \]
Ergebnis: \[\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi\]

Beispiel 6: Innere Polstelle — typische Falle

⚠ Achtung: Vor jeder Berechnung den Integranden auf Polstellen im Innern des Integrationsintervalls prüfen!

Aufgabe: Untersuche \(\displaystyle\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x\).

Falsche Rechnung (Vorsicht!): \[ \left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2 \quad \text{(falsch!)} \] Das Ergebnis ist falsch: \(1/x^2 \ge 0\) überall, ein negatives Integral ist physikalisch unmöglich und ein guter „Plausibilitätsalarm". Der Fehler: die Polstelle bei \(x=0\) wurde übersehen.

Korrekte Rechnung: Aufteilen am Pol \(p=0\). Bereits das rechte Teilintegral genügt zur Beantwortung.

Schritt 1 – Rechtes Teilintegral (\(u\to 0^+\)):

\[ \int_u^{1} \frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x = \left[-\frac{1}{x}\right]_u^{1} = -1 + \frac{1}{u} = \frac{1}{u} - 1 \]

Schritt 2 – Grenzübergang:

\[ \lim_{u\to 0^+}\left(\frac{1}{u} - 1\right) = \infty \]

Ergebnis: Bereits das rechte Teilintegral divergiert — das gesamte Integral ist damit divergent.

Gabriels Horn — das Maler-Paradoxon

Eines der schönsten Beispiele für uneigentliche Integrale ist Gabriels Horn (auch Torricellis Trompete genannt). Es entsteht durch Rotation von \(f(x) = 1/x\) (\(x \ge 1\)) um die \(x\)-Achse. Der Körper sieht aus wie ein unendlich langer, sich verjüngender Trichter.

Mantelfläche — unendlich

Die Fläche unter \(1/x\) ist das, was rotiert wird:

\[ \int_1^{u} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \ln u \xrightarrow{u\to\infty} \infty \]

Die Mantelfläche des Horns ist unendlich groß.

Volumen — endlich (gleich \(\pi\))

Rotationsvolumen-Formel: \(V = \pi\int_a^b \left(f(x)\right)^2\,\mathrm{d}x\)

\[ V = \pi\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x = \pi \cdot 1 = \pi \]

Das Volumen beträgt genau \(\pi\) — trotz unendlicher Ausdehnung.

Das Paradoxon: Man kann das Horn mit endlich viel Farbe (genau \(\pi\) Volumeneinheiten) füllen — die Innenwand mit derselben Farbe zu streichen würde jedoch unendlich viel Farbe erfordern, denn auch die Mantelfläche ist unendlich. \(1/x\) fällt zu langsam ab und divergiert — \(1/x^2\) fällt schnell genug und konvergiert. Das Quadrieren macht den entscheidenden Unterschied.

Interaktives 3D-Modell

Weitere Anwendungen

Dichtefunktionen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Eine Funktion \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte, wenn \(f(x)\ge 0\) und

\[\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\mathrm{d}x = 1.\]

Praktisch jede stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung wird über uneigentliche Integrale beschrieben.

Beispiel – Exponentialverteilung (\(\lambda>0\)): \[ f(x) = \begin{cases}\lambda e^{-\lambda x} & x\ge 0\\ 0 & x<0\end{cases} \]

Schritt 1:

\[ \int_0^{u}\lambda e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x = \bigl[-e^{-\lambda x}\bigr]_0^{u} = 1 - e^{-\lambda u} \]

Schritt 2:

\[ \lim_{u\to\infty}\bigl(1 - e^{-\lambda u}\bigr) = 1 \checkmark \]

Die Exponentialverteilung modelliert z. B. Wartezeiten oder Lebensdauern.

Arbeit gegen die Gravitation

Die Arbeit, einen Körper der Masse \(m\) von der Erdoberfläche (Radius \(R\)) ins Unendliche zu befördern:

\[W = \int_R^{\infty} G\frac{Mm}{r^2}\,\mathrm{d}r\]

Schritt 1:

\[ \int_R^{u} G\frac{Mm}{r^2}\,\mathrm{d}r = GMm\left[-\frac{1}{r}\right]_R^{u} = GMm\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{u}\right) \]

Schritt 2:

\[ \lim_{u\to\infty} GMm\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{u}\right) = \frac{GMm}{R} \]

Dieses endliche Ergebnis (trotz unendlicher Wegstrecke) ist die physikalische Grundlage der Fluchtgeschwindigkeit.

Barwert ewiger Renten

Bei stetiger Verzinsung mit Zinsrate \(r\) und kontinuierlicher Auszahlung \(c\) pro Zeiteinheit ergibt sich der Barwert einer „ewigen Rente" als

\[B = \int_0^{\infty} c\cdot e^{-rt}\,\mathrm{d}t\]

Schritt 1:

\[ \int_0^{u} c\cdot e^{-rt}\,\mathrm{d}t = c\left[-\frac{1}{r}e^{-rt}\right]_0^{u} = \frac{c}{r}\bigl(1 - e^{-ru}\bigr) \]

Schritt 2:

\[ \lim_{u\to\infty} \frac{c}{r}\bigl(1 - e^{-ru}\bigr) = \frac{c}{r} \]

Eine ewig sprudelnde Geldquelle hat einen endlichen heutigen Wert von \(c/r\).

Häufige Fehler und Stolperfallen

  1. Polstellen im Inneren übersehen. Vor jeder Berechnung den Integranden auf Polstellen prüfen — siehe Beispiel 6.
  2. Ungültige Symmetrieargumente. \(\int_{-\infty}^{\infty} f\) ist nicht automatisch der symmetrische Grenzwert \(\lim_{u\to\infty}\int_{-u}^{u} f\).
  3. Hauptsatz ohne Grenzübergang. Die Stammfunktion einzusetzen reicht nicht — der Grenzwert muss nach der Integration formal gebildet werden.
  4. „\(\infty - \infty\)" als Wert. Sind beide Teile divergent, ist das Gesamtintegral divergent — auch wenn man optisch eine „Auslöschung" zu sehen glaubt.
  5. Falsche Stammfunktion. Bei \(\int 1/x\,\mathrm{d}x\) über negative Bereiche an \(\ln|x|\) denken.

Übungsaufgaben

Untersuche folgende Integrale auf Konvergenz und berechne ggf. den Wert. Verwende dabei stets das zweischrittige Schema: erst mit \(u\) integrieren, dann den Grenzwert bilden.

Aufgabe 1: \(\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-x}\,\mathrm{d}x\)

Aufgabe 2: \(\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{1}{x^3}\,\mathrm{d}x\)

Aufgabe 3: \(\displaystyle\int_0^{1} \frac{1}{x^{2/3}}\,\mathrm{d}x\)

Aufgabe 4: \(\displaystyle\int_2^{\infty} \frac{1}{x\ln x}\,\mathrm{d}x\)

Aufgabe 5: \(\displaystyle\int_{-\infty}^{0} x\,e^{x}\,\mathrm{d}x\)

Aufgabe 6: \(\displaystyle\int_0^{2} \frac{1}{(x-1)^2}\,\mathrm{d}x\)

Aufgabe 7 (Gabriels Horn): Lass \(g(x) = 1/x^2\) für \(x\ge 1\) um die \(x\)-Achse rotieren. Berechne das Rotationsvolumen und vergleiche mit Gabriels Horn aus Abschnitt 9.

Was du wissen solltest

  • Uneigentliche Integrale treten bei unendlichen Grenzen (Typ I) oder Polstellen (Typ II) auf
  • Die Definition erfolgt stets über einen Grenzwert der zugehörigen eigentlichen Integrale
  • Das zweischrittige Schema: erst mit \(u\) integrieren, dann Grenzwert bilden
  • \(1/x\) ist die kritische Grenze: schneller abfallend → konvergent, langsamer → divergent
  • Polstellen im Innern immer vorab prüfen!
  • Polstellen im Innern immer vorab prüfen!

Kernideen

  • Konvergenz = Grenzwert existiert und ist endlich
  • Divergenz = Grenzwert ist \(\pm\infty\) oder existiert nicht
  • Im Unendlichen: Funktion muss schneller abfallen als \(1/x\) (z. B. \(1/x^2\) ✓, \(1/x\) ✗)
  • An Polstellen: Funktion darf nicht so stark ansteigen wie \(1/x\) (z. B. \(1/\sqrt{x}\) ✓, \(1/x\) ✗)
  • Gabriels Horn: unendliche Fläche, endliches Volumen — das schönste Paradoxon
  • Uneigentliche Integrale sind in Physik, Wahrscheinlichkeit und Wirtschaft unverzichtbar