∫
F(x)
dx
Integrationsregeln
Lerne die wichtigsten Regeln zum Integrieren von Funktionen
Was ist ein Integral?
Das Integral ist die Umkehrung der Ableitung. Während die Ableitung die momentane Änderungsrate beschreibt, gibt das Integral die Gesamtänderung oder den Flächeninhalt unter einer Kurve an.
Warum sind Integrale wichtig?
- Sie berechnen Flächeninhalte unter Kurven
- Sie bestimmen Gesamtänderungen (z.B. Weg aus Geschwindigkeit)
- Sie rekonstruieren Funktionen aus ihrer Änderungsrate
- Sie sind Grundlage für viele Anwendungen in Physik und Technik
Zwei Arten von Integralen
- Unbestimmtes Integral: \(\int f(x) \, \text{d}x = F(x) + C\)
Stammfunktion mit Integrationskonstante C - Bestimmtes Integral: \(\int_a^b f(x) \, \text{d}x = F(b) - F(a)\)
Flächeninhalt zwischen a und b (Hauptsatz)
Funktion und Integral visualisiert
Wähle eine Funktion und sieh, wie das Integral (Fläche unter der Kurve) aussieht:
Funktion: \(f(x) = x\)
Stammfunktion: \(F(x) = \frac{x^2}{2} + C\)
Stammfunktion: \(F(x) = \frac{x^2}{2} + C\)
Beobachtung: Die farbig markierte Fläche zeigt \(\int_{-2}^{2} f(x) \, \text{d}x\).
Positive Flächen (über der x-Achse, blau) werden addiert, negative Flächen (unter der x-Achse, rot) werden subtrahiert.
Die Stammfunktion \(F(x)\) zeigt die akkumulierte Fläche an jeder Stelle. Die Ableitung von \(F(x)\) ergibt wieder \(f(x)\)!
Grundlegende Integrationsregeln
Diese Regeln brauchst du, um das Integral jeder Funktion zu berechnen. Lerne sie auswendig!
Integrale von Grundfunktionen
Potenzregel für Integration
\[ \int x^n \, \text{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) \]
Regel: Exponent um 1 erhöhen, durch den neuen Exponenten teilen, Konstante C hinzufügen.
Beispiele:
- \(\int x^2 \, \text{d}x = \frac{x^3}{3} + C\)
- \(\int x^3 \, \text{d}x = \frac{x^4}{4} + C\)
- \(\int x^{10} \, \text{d}x = \frac{x^{11}}{11} + C\)
- \(\int 1 \, \text{d}x = \int x^0 \, \text{d}x = x + C\)
- \(\int \sqrt{x} \, \text{d}x = \int x^{\frac{1}{2}} \, \text{d}x = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}} + C\)
Spezielle Funktionen
Diese Integrale musst du auswendig lernen:
| \(f(x)\) | \(\int f(x) \, \text{d}x\) |
|---|---|
| \(\sin(x)\) | \(-\cos(x) + C\) |
| \(\cos(x)\) | \(\sin(x) + C\) |
| \(\frac{1}{\cos^2(x)}\) | \(\tan(x) + C\) |
| \(e^x\) | \(e^x + C\) |
| \(a^x\) | \(\frac{a^x}{\ln(a)} + C\) |
| \(\frac{1}{x}\) | \(\ln|x| + C\) |
Wichtig: Bei \(\frac{1}{x}\) ist das Integral \(\ln|x|\) - die Betragsstriche nicht vergessen!
Rechenregeln für Integrale
Faktorregel
\[ \int k \cdot f(x) \, \text{d}x = k \cdot \int f(x) \, \text{d}x \]
Regel: Konstante Faktoren können vor das Integral gezogen werden.
Beispiele:
- \(\int 5 \cdot x^2 \, \text{d}x = 5 \cdot \int x^2 \, \text{d}x = 5 \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{5 \cdot x^3}{3} + C\)
- \(\int 3 \cdot \sin(x) \, \text{d}x = 3 \cdot \int \sin(x) \, \text{d}x = -3 \cdot \cos(x) + C\)
Summenregel
\[ \int [f(x) + g(x)] \, \text{d}x = \int f(x) \, \text{d}x + \int g(x) \, \text{d}x \]
Regel: Das Integral einer Summe ist die Summe der Integrale.
Beispiele:
- \(\int (x^2 + x^3) \, \text{d}x = \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + C\)
- \(\int (\sin(x) + \cos(x)) \, \text{d}x = -\cos(x) + \sin(x) + C\)
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
\[ \int_a^b f(x) \, \text{d}x = F(b) - F(a) = \left[ F(x) \right]_a^b \]
Regel: Um ein bestimmtes Integral zu berechnen, bestimme die Stammfunktion F(x) und setze die Grenzen ein.
Beispiel:
\[
\begin{align}
\int_1^3 x^2 \, \text{d}x &= \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^3 \\
&= \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} \\
&= \frac{27}{3} - \frac{1}{3} \\
&= 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}
\end{align}
\]
Substitutionsregel
Integration durch Substitution
\[ \int f(g(x)) \cdot g'(x) \, \text{d}x = \int f(u) \, \text{d}u \quad \text{mit } u = g(x) \]
Regel: Ersetze einen komplexen Ausdruck durch eine neue Variable u.
Vorgehen:
- Wähle geeignete Substitution \(u = g(x)\)
- Berechne \(\text{d}u = g'(x) \, \text{d}x\)
- Ersetze in der Integrand \(f(g(x)) \cdot g'(x)\) durch \(f(u)\)
- Integriere nach u
- Rücksubstitution: Setze u wieder durch g(x) ein
Beispiel 1: \(\int 2 \cdot x \cdot (x^2 + 1)^5 \, \text{d}x\)
\[
\begin{align}
u &= x^2 + 1 \\
\text{d}u &= 2 \cdot x \, \text{d}x \\
\\
\int 2 \cdot x \cdot (x^2 + 1)^5 \, \text{d}x &= \int u^5 \, \text{d}u \\
&= \frac{u^6}{6} + C \\
&= \frac{(x^2 + 1)^6}{6} + C
\end{align}
\]
Beispiel 2: \(\int \sin(3 \cdot x) \, \text{d}x\)
\[
\begin{align}
u &= 3 \cdot x \\
\text{d}u &= 3 \, \text{d}x \quad \Rightarrow \quad \text{d}x = \frac{\text{d}u}{3} \\
\\
\int \sin(3 \cdot x) \, \text{d}x &= \int \sin(u) \cdot \frac{\text{d}u}{3} \\
&= \frac{1}{3} \cdot \int \sin(u) \, \text{d}u \\
&= -\frac{1}{3} \cdot \cos(u) + C \\
&= -\frac{1}{3} \cdot \cos(3 \cdot x) + C
\end{align}
\]
Beispiel 3: \(\int e^{-2 \cdot x} \, \text{d}x\)
\[
\begin{align}
u &= -2 \cdot x \\
\text{d}u &= -2 \, \text{d}x \quad \Rightarrow \quad \text{d}x = -\frac{\text{d}u}{2} \\
\\
\int e^{-2 \cdot x} \, \text{d}x &= \int e^u \cdot \left(-\frac{\text{d}u}{2}\right) \\
&= -\frac{1}{2} \cdot e^u + C \\
&= -\frac{1}{2} \cdot e^{-2 \cdot x} + C
\end{align}
\]
Beispiel 4: \(\int \frac{2 \cdot x}{x^2 + 1} \, \text{d}x\)
\[
\begin{align}
u &= x^2 + 1 \\
\text{d}u &= 2 \cdot x \, \text{d}x \\
\\
\int \frac{2 \cdot x}{x^2 + 1} \, \text{d}x &= \int \frac{1}{u} \, \text{d}u \\
&= \ln|u| + C \\
&= \ln|x^2 + 1| + C
\end{align}
\]
Tipp: Substitution funktioniert am besten, wenn die Ableitung der inneren Funktion
(oder ein Vielfaches davon) bereits im Integral vorkommt!
Partielle Integration (Produktintegration)
Partielle Integration
\[ \int u'(x) \cdot v(x) \, \text{d}x = u(x) \cdot v(x) - \int u(x) \cdot v'(x) \, \text{d}x \]
Regel: Das Gegenstück zur Produktregel beim Ableiten. Wandelt ein schwieriges Integral in ein hoffentlich einfacheres um.
Vorgehen:
- Teile den Integranden in zwei Faktoren: \(u'(x)\) und \(v(x)\)
- Wähle geschickt: \(u'(x)\) soll einfach integrierbar sein, \(v(x)\) soll beim Ableiten einfacher werden
- Bestimme \(u(x) = \int u'(x) \, \text{d}x\) und \(v'(x)\)
- Setze in die Formel ein
Merkhilfe für die Wahl: LIATE-Regel
Logarithmus > Invers-Trig > Algebraisch > Trigonometrisch > Exponential
Wähle den weiter links stehenden als v(x)
Beispiel 1: \(\int x \cdot e^x \, \text{d}x\)
\[
\begin{align}
v(x) &= x, \quad v'(x) = 1 \\
u'(x) &= e^x, \quad u(x) = e^x \\
\\
\int x \cdot e^x \, \text{d}x &= x \cdot e^x - \int e^x \cdot 1 \, \text{d}x \\
&= x \cdot e^x - e^x + C \\
&= e^x \cdot (x - 1) + C
\end{align}
\]
Beispiel 2: \(\int x \cdot \sin(x) \, \text{d}x\)
\[
\begin{align}
v(x) &= x, \quad v'(x) = 1 \\
u'(x) &= \sin(x), \quad u(x) = -\cos(x) \\
\\
\int x \cdot \sin(x) \, \text{d}x &= x \cdot (-\cos(x)) - \int (-\cos(x)) \cdot 1 \, \text{d}x \\
&= -x \cdot \cos(x) + \int \cos(x) \, \text{d}x \\
&= -x \cdot \cos(x) + \sin(x) + C
\end{align}
\]
Beispiel 3: \(\int \ln(x) \, \text{d}x\)
\[
\begin{align}
v(x) &= \ln(x), \quad v'(x) = \frac{1}{x} \\
u'(x) &= 1, \quad u(x) = x \\
\\
\int \ln(x) \, \text{d}x &= x \cdot \ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, \text{d}x \\
&= x \cdot \ln(x) - \int 1 \, \text{d}x \\
&= x \cdot \ln(x) - x + C
\end{align}
\]
Beispiel 4: \(\int x^2 \cdot \cos(x) \, \text{d}x\)
Hier muss partielle Integration zweimal angewendet werden!
\[
\begin{align}
v &= x^2, \quad u' = \cos(x) \\
v' &= 2 \cdot x, \quad u = \sin(x) \\
\\
\int x^2 \cdot \cos(x) \, \text{d}x &= x^2 \cdot \sin(x) - \int 2 \cdot x \cdot \sin(x) \, \text{d}x \\
&= x^2 \cdot \sin(x) - 2 \cdot \left[ -x \cdot \cos(x) + \sin(x) \right] + C \\
&= x^2 \cdot \sin(x) + 2 \cdot x \cdot \cos(x) - 2 \cdot \sin(x) + C
\end{align}
\]
Achtung: Manchmal muss partielle Integration mehrfach angewendet werden.
Bei manchen Integralen führt sie auch im Kreis zurück zum Ausgangsintegral - dann kannst du nach dem gesuchten Integral auflösen!
Wie integriere ich? - Strategien im Überblick
Bevor du die Übungen machst: So gehst du beim Integrieren vor!
Grundintegral erkennen?
Prüfe, ob eine Grundfunktion vorliegt:
- \(x^n \rightarrow \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)
- \(\sin(x) \rightarrow -\cos(x) + C\)
- \(\cos(x) \rightarrow \sin(x) + C\)
- \(e^x \rightarrow e^x + C\)
- \(\frac{1}{x} \rightarrow \ln|x| + C\)
→ Direkt integrieren, Konstante C nicht vergessen!
Summe oder konstanter Faktor?
Vereinfache zuerst:
- Summe: \(\int [f + g] = \int f + \int g\)
- Faktor: \(\int k \cdot f = k \cdot \int f\)
Beispiel:
\(\int (3 \cdot x^2 + 2 \cdot x) \, \text{d}x = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C\)
Verkettung erkennbar? → Substitution
Wann verwenden?
- Eine "innere Funktion" ist erkennbar (z.B. \(x^2 + 1\), \(3 \cdot x\), \(-2 \cdot x\))
- Die Ableitung der inneren Funktion (oder ein Vielfaches) steht ebenfalls im Integral
Allgemeine Regel: \(\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, \text{d}x = \int f(u) \, \text{d}u\) mit \(u = g(x)\)
Vorgehensweise:
- Setze \(u =\) innere Funktion
- Berechne \(\frac{\text{d}u}{\text{d}x} = u'(x)\)
- Daraus folgt: \(\text{d}u = u'(x) \, \text{d}x\)
- Ersetze im Integral alles durch u
- Integriere nach u
- Rücksubstitution: Setze u wieder durch die ursprüngliche Funktion ein
Beispiel 1: \(\int 2 \cdot x \cdot (x^2 + 1)^5 \, \text{d}x\)
\[
\begin{align}
\text{Substitution: } u &= x^2 + 1 \\
\frac{\text{d}u}{\text{d}x} &= 2 \cdot x \\
\text{d}u &= 2 \cdot x \, \text{d}x \\
\\
\int 2 \cdot x \cdot (x^2 + 1)^5 \, \text{d}x &= \int u^5 \, \text{d}u \\
&= \frac{u^6}{6} + C \\
&= \frac{(x^2 + 1)^6}{6} + C
\end{align}
\]
Beispiel 2: \(\int e^{3 \cdot x} \, \text{d}x\)
\[
\begin{align}
\text{Substitution: } u &= 3 \cdot x \\
\frac{\text{d}u}{\text{d}x} &= 3 \\
\text{d}u &= 3 \, \text{d}x \quad \Rightarrow \quad \text{d}x = \frac{\text{d}u}{3} \\
\\
\int e^{3 \cdot x} \, \text{d}x &= \int e^u \cdot \frac{\text{d}u}{3} \\
&= \frac{1}{3} \cdot \int e^u \, \text{d}u \\
&= \frac{1}{3} \cdot e^u + C \\
&= \frac{1}{3} \cdot e^{3 \cdot x} + C
\end{align}
\]
Produkt von Funktionen? → Partielle Integration
Wann verwenden?
- Bei Produkten wie \(x \cdot e^x\), \(x \cdot \sin(x)\), \(x^2 \cdot \cos(x)\)
- Bei \(\ln(x)\) alleine (denke es als \(1 \cdot \ln(x)\))
- Wenn Substitution nicht funktioniert
Formel: \(\int u'(x) \cdot v(x) \, \text{d}x = u(x) \cdot v(x) - \int u(x) \cdot v'(x) \, \text{d}x\)
Vorgehensweise:
- Teile den Integranden in zwei Faktoren: \(u'(x)\) und \(v(x)\)
- Wähle geschickt mit LIATE-Regel:
Logarithmus > Invers-trig > Algebraisch (x, x²) > Trigonometrisch > Exponential
→ Wähle als v(x) die Funktion, die in dieser Rangfolge weiter oben steht!
Die andere Funktion ist dann u'(x) - Bestimme \(u(x) = \int u'(x) \, \text{d}x\) und \(v'(x)\)
- Setze in die Formel ein: \(u \cdot v - \int u \cdot v'\)
- Berechne das neue (hoffentlich einfachere) Integral
Beispiel 1: \(\int x \cdot e^x \, \text{d}x\)
\[
\begin{align}
v(x) &= x \quad (\text{algebraisch, LIATE}) \\
v'(x) &= 1 \\
u'(x) &= e^x \\
u(x) &= e^x \\
\\
\int x \cdot e^x \, \text{d}x &= x \cdot e^x - \int e^x \cdot 1 \, \text{d}x \\
&= x \cdot e^x - e^x + C \\
&= e^x \cdot (x - 1) + C
\end{align}
\]
Beispiel 2: \(\int \ln(x) \, \text{d}x\)
\[
\begin{align}
v(x) &= \ln(x) \quad (\text{Logarithmus, LIATE}) \\
v'(x) &= \frac{1}{x} \\
u'(x) &= 1 \\
u(x) &= x \\
\\
\int \ln(x) \, \text{d}x &= x \cdot \ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, \text{d}x \\
&= x \cdot \ln(x) - \int 1 \, \text{d}x \\
&= x \cdot \ln(x) - x + C
\end{align}
\]
| Funktion \(f(x)\) | Stammfunktion \(\int f(x) \, \text{d}x\) |
|---|---|
| \(x^n\) (n ≠ -1) | \(\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) |
| \(\frac{1}{x}\) | \(\ln|x| + C\) |
| \(\sin(x)\) | \(-\cos(x) + C\) |
| \(\cos(x)\) | \(\sin(x) + C\) |
| \(\frac{1}{\cos^2(x)}\) | \(\tan(x) + C\) |
| \(e^x\) | \(e^x + C\) |
| \(a^x\) | \(\frac{a^x}{\ln(a)} + C\) |
| \(\sin(a \cdot x)\) | \(-\frac{1}{a} \cdot \cos(a \cdot x) + C\) |
| \(\cos(a \cdot x)\) | \(\frac{1}{a} \cdot \sin(a \cdot x) + C\) |
| \(e^{a \cdot x}\) | \(\frac{1}{a} \cdot e^{a \cdot x} + C\) |
| \(\frac{1}{a \cdot x + b}\) | \(\frac{1}{a} \cdot \ln|a \cdot x + b| + C\) |
Übungen
Bestimme die folgenden Integrale. Klicke auf "Lösung anzeigen" um die Lösung mit Rechenweg zu sehen.
Übung 1: \(\int (3 \cdot x^2 - 2 \cdot x + 5) \, \text{d}x\)
Übung 2: \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, \text{d}x\)
Übung 3: \(\int 6 \cdot x \cdot (x^2 + 1)^2 \, \text{d}x\)
Übung 4: \(\int x \cdot \cos(x) \, \text{d}x\)
Übung 5: \(\int \frac{4 \cdot x^3}{x^4 + 1} \, \text{d}x\)
Übung 6: \(\int e^{3 \cdot x} \, \text{d}x\)
Übung 7: \(\int_1^e \frac{1}{x} \, \text{d}x\)
Übung 8: \(\int x^2 \cdot e^x \, \text{d}x\)
Was du können solltest
- Potenzregel für Integration anwenden
- Integrale von sin, cos, e^x, 1/x kennen
- Hauptsatz anwenden für bestimmte Integrale
- Substitution bei verketteten Funktionen nutzen
- Partielle Integration bei Produkten verwenden
- Wissen, welche Methode wann anzuwenden ist
Tipps
- Lerne die Grundintegrale auswendig
- Integrationskonstante C nicht vergessen!
- Bei Substitution: Prüfe, ob Ableitung im Integral vorkommt
- Bei partieller Integration: LIATE-Regel beachten
- Kontrolliere dein Ergebnis durch Ableiten