Wie schnell wächst was?
Lineares, quadratisches und exponentielles Wachstum sehen am Anfang fast gleich aus – und enden völlig verschieden. Lerne, die drei Wachstumsarten in Wertetabellen und Graphen zu erkennen, bevor du dich an die Exponentialfunktion wagst.
Drei Arten zu wachsen
Stell dir drei Vorgänge vor, die alle am Tag \(x = 0\) starten:
- Der Wasserstand einer Regentonne: Jeden Tag kommen genau 2 cm dazu. \(l(x) = 2 \cdot x\)
- Die Fläche eines Ölflecks: Der Radius wächst gleichmäßig, die Fläche wächst deshalb mit dem Quadrat. \(q(x) = x^2\)
- Eine Bakterienkultur: Jeden Tag verdoppelt sich die Anzahl. \(e(x) = 2^x\)
Welcher Vorgang ist nach 10 Tagen am größten? Und welcher nach 30 Tagen? Die Wertetabelle verrät es.
Die Wertetabelle im Vergleich
| \(x\) (Tage) | linear \(l(x) = 2 \cdot x\) | quadratisch \(q(x) = x^2\) | exponentiell \(e(x) = 2^x\) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 2 | 1 | 2 |
| 2 | 4 | 4 | 4 |
| 3 | 6 | 9 | 8 |
| 4 | 8 | 16 | 16 |
| 5 | 10 | 25 | 32 |
| 6 | 12 | 36 | 64 |
| 7 | 14 | 49 | 128 |
| 8 | 16 | 64 | 256 |
| 9 | 18 | 81 | 512 |
| 10 | 20 | 100 | 1024 |
| 30 | 60 | 900 | 1 073 741 824 |
Bis \(x = 4\) liegt das exponentielle Wachstum sogar hinter dem quadratischen zurück. Danach dreht sich das Bild – und nach 30 Tagen ist es nicht mehr 15-mal, sondern über eine Million-mal so groß wie das quadratische.
Woran erkennst du die Wachstumsart?
Man muss die Funktionsgleichung gar nicht kennen. Es genügt, in der Wertetabelle nachzurechnen, wie sich die Werte von Zeile zu Zeile ändern.
Linear: gleiche Differenz
Ziehe jeden Wert vom nächsten ab. Die Differenz bleibt gleich.
| \(x\) | \(l(x)\) | Differenz |
|---|---|---|
| 0 | 0 | – |
| 1 | 2 | +2 |
| 2 | 4 | +2 |
| 3 | 6 | +2 |
| 4 | 8 | +2 |
Merkmal: immer plus dieselbe Zahl.
Quadratisch: gleiche zweite Differenz
Die Differenzen wachsen – aber ihre Differenzen sind wieder konstant.
| \(x\) | \(q(x)\) | Diff. | 2. Diff. |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | – | – |
| 1 | 1 | +1 | – |
| 2 | 4 | +3 | +2 |
| 3 | 9 | +5 | +2 |
| 4 | 16 | +7 | +2 |
Merkmal: die Zunahme wächst gleichmäßig.
Exponentiell: gleicher Quotient
Teile jeden Wert durch den vorherigen. Der Quotient bleibt gleich.
| \(x\) | \(e(x)\) | Quotient |
|---|---|---|
| 0 | 1 | – |
| 1 | 2 | \(\frac{2}{1} = 2\) |
| 2 | 4 | \(\frac{4}{2} = 2\) |
| 3 | 8 | \(\frac{8}{4} = 2\) |
| 4 | 16 | \(\frac{16}{8} = 2\) |
Merkmal: immer mal dieselbe Zahl.
Merke
- Linear: \(l(x) = m \cdot x + b\) – pro Schritt kommt dieselbe Menge dazu.
- Quadratisch: \(q(x) = a \cdot x^2\) – pro Schritt kommt immer mehr dazu, aber gleichmäßig mehr.
- Exponentiell: \(e(x) = a \cdot b^x\) – pro Schritt wird mit demselben Faktor multipliziert.
Der Faktor \(b\) heißt Wachstumsfaktor. Bei \(b > 1\) wächst die Funktion, bei \(0 < b < 1\) fällt sie.
Die drei Graphen im Vergleich
Dieselben drei Funktionen als Graph. Verändere den dargestellten Bereich und beobachte, wie sich das Bild dabei völlig verschiebt.
Was du im Graphen siehst
- Bereich 0 – 5: Die drei Kurven liegen dicht beieinander, das Quadrat liegt sogar vorn. Hier würde man den Unterschied leicht übersehen.
- Bereich 0 – 10: Die Exponentialkurve zieht davon, die anderen beiden wirken plötzlich flach.
- Bereich 0 – 20: Linear und quadratisch sind gegen den Rand der Zeichnung gedrückt – sie sind nicht kleiner geworden, nur unvergleichlich viel kleiner.
- Logarithmische \(y\)-Achse: Jede Achsenstufe ist ein Faktor 10. Exponentielles Wachstum wird dort zur Geraden – ein sicheres Erkennungszeichen.
Die Legende vom Reiskorn und dem Schachbrett
Im dritten oder vierten Jahrhundert lebte in Indien der Gelehrte Sissa ibn Dahir. Sein König Shihram war ein Tyrann, der sein Volk bedrückte. Sissa erfand deshalb das Schachspiel – ein Spiel, in dem selbst der König machtlos ist, wenn ihn niemand unterstützt. Der König sollte daraus lernen.
Shihram war von dem Spiel begeistert und wollte den weisen Brahmanen belohnen: Er dürfe sich wünschen, was immer er wolle.
Sissas Wunsch klang bescheiden: „Auf das erste Feld des Schachbretts lege ein Reiskorn. Auf das zweite Feld das Doppelte, auf das dritte wieder das Doppelte – und so weiter bis zum 64. Feld.“
Der König lachte über diesen kleinen Wunsch und ließ Reis holen. Doch seine Rechenmeister brauchten Tage – und mussten am Ende gestehen: So viel Reis gab es im ganzen Reich nicht. Nicht einmal auf der ganzen Welt.
Erzählung nach dem GeoGebra-Material „Die Legende vom Reiskorn und dem Schachbrett“.
Aufgabe 1: Erst schätzen!
Bevor du weiterliest: Schreibe eine Schätzung auf. Wie viel Reis liegt allein auf dem 64. Feld? Eine Handvoll? Ein Sack? Ein Lastwagen? Ein Güterzug?
Notiere deine Schätzung, starte danach die Animation und vergleiche.
Die Animation: Feld für Feld verdoppeln
Jedes Feld enthält doppelt so viele Körner wie das vorherige. Auf Feld \(n\) liegen also \(2^{\,n-1}\) Körner.
Jetzt wird gerechnet
Aufgabe 2: Körner auf dem 64. Feld
Auf Feld 1 liegt 1 Korn, auf Feld 2 liegen 2 Körner, auf Feld 3 liegen 4 Körner. Stelle eine Formel für die Anzahl der Körner auf Feld \(n\) auf und berechne damit die Anzahl für \(n = 64\).
Aufgabe 3: Wie schwer ist das?
Ein Reiskorn wiegt etwa \(0{,}03\;\text{g}\). Berechne die Masse des Reises auf dem 64. Feld in Kilogramm und in Tonnen.
Aufgabe 4: Die Gesamtmenge
Wie viele Körner liegen am Ende auf dem ganzen Brett? Rechne zuerst die Summe für die ersten Felder aus (1, 1+2, 1+2+4, 1+2+4+8 …), vergleiche sie mit den Zweierpotenzen und finde so eine Formel für die Gesamtsumme.
Von der Verdopplung zur Exponentialfunktion
Die Reiskörner auf dem Schachbrett folgen der Vorschrift
\[ k(n) = 2^{\,n-1} \]
Der Laufindex \(n\) steht dabei im Exponenten – genau das macht eine Funktion zur Exponentialfunktion. Ersetzt man die 2 durch einen beliebigen Wachstumsfaktor \(b\) und erlaubt einen Startwert \(a\), erhält man die allgemeine Form:
\[ f(x) = a \cdot b^{\,x} \]
- \(a\) ist der Startwert bei \(x = 0\).
- \(b\) ist der Wachstumsfaktor pro Schritt: \(b = 2\) bedeutet Verdopplung, \(b = 1{,}05\) bedeutet 5 % Zuwachs, \(b = 0{,}5\) bedeutet Halbierung.
Auf der nächsten Seite kommen noch eine Verschiebung nach links/rechts (\(c\)) und nach oben/unten (\(d\)) dazu – und du kannst alle vier Parameter im GeoGebra-Applet selbst verschieben.