Mathematik – Leistungskurs 12
Analytische Geometrie im Halbjahr Q3. Der Einstieg gelingt über ein Spiel: Aus den Zügen eines Autorennens werden Vektoren.
Willkommen im Mathematik-Leistungskurs Klasse 12
Das Halbjahr Q3 beginnt mit der analytischen Geometrie. Statt mit einer Definition zu starten, fangen wir mit einem Spiel an: dem Autorennen auf kariertem Papier. Jeder Spielzug ist ein Pfeil – seine Richtung gibt an, wohin das Auto fährt, seine Länge, wie schnell es ist.
Genau aus diesen Pfeilen entstehen alle Begriffe, die Sie in Q3 brauchen: der Vektor als Zahlenpaar, die Addition zweier Züge, die Vervielfachung beim Orientierungspunkt und schließlich die Linearkombination. Arbeiten Sie die vier Seiten am besten der Reihe nach durch.
Danach geht es von der Ebene in den Raum: Dort kommt eine dritte Achse hinzu – und mit ihr das Schrägbild auf Karopapier, Ebenen und Geraden im Raum sowie die Frage, wie lang eine Strecke zwischen zwei Punkten eigentlich ist.
Analytische Geometrie
Einführung in die Vektorrechnung · Ortsvektoren · Linearkombination
Einführung über das Autorennen
Die Spielregeln, eine Schritt-für-Schritt-Animation des Zuges und das Rennen zum Selberspielen – allein, zu zweit oder gegen den Computer.
Zum SpielWas ist ein Vektor? Vom Zugprotokoll zum Zahlenpaar, Addition zweier Züge und der Orientierungspunkt als \(2 \cdot \vec v\).
Zum ThemaDie Rennbahn im Koordinatensystem: Ortsvektoren, der Umweg über den Ursprung und der Merksatz „Spitze minus Fuß“.
Zum Thema\(r \cdot \vec a + s \cdot \vec b\): ein Ziel ansteuern, das zugehörige Gleichungssystem lösen und lineare Unabhängigkeit verstehen.
Zum ThemaVon der Ebene in den Raum
Das Schrägbild auf Karopapier, Punkte über den Treppenweg, Ebenen und achsenparallele Geraden – dazu Quader und Pyramide mit allen Streckenlängen und die Länge \(\left|\vec a\right|\) eines Vektors.
Zum ThemaIdentisch, echt parallel, schneidend oder windschief? Ein Schema aus zwei Fragen, jeder Fall Schritt für Schritt im Schrägbild – und das Gleichungssystem in GeoGebra gedeutet.
Zum ThemaAnwendung: Schattenwurf
Lichtstrahl durch jede Ecke, Schnitt mit dem Boden: der Schatten eines Quaders bei Sonnenlicht und im Scheinwerferlicht – Schritt für Schritt und zum Selbsterkunden.
Zum ThemaEin Zelt vor einem Podest: Der Schatten fällt auf Boden, Vorderseite und Oberseite. Hilfspunkt, Randkanten und die Knickpunkte an beiden Podestkanten.
Zum ThemaEin Turm in zwei Varianten: Erst knickt sein Schatten an einer senkrechten Wand ab, dann fällt er über Boden und Vorderseite auf die Oberseite einer Kiste. An der Wand läuft der Schatten senkrecht nach oben.
Zum ThemaWoher kommt das Autorennen?
Das Spiel wurde von Studenten beim Warten auf ihre Vorlesung erfunden und ist als Einstieg in die Vektorrechnung seit Langem bewährt. Die hier verwendete Fassung folgt Hahn/Dzewas: Lineare Algebra, Analytische Geometrie, S. 45–48.