Schattenwurf: das Gerätehaus
Wo trifft der Lichtstrahl den Boden? Schatten bei Sonnenlicht und im Scheinwerferlicht
Aufgabe: Gerätehaus auf dem Sportplatz
Auf einem ebenen Sportplatz steht ein quaderförmiges Gerätehaus mit Flachdach. In einem Koordinatensystem (1 Einheit = 1 m) hat es die Eckpunkte
\[A(0|0|0),\ B(4|0|0),\ C(4|2|0),\ D(0|2|0),\quad E(0|0|3),\ F(4|0|3),\ G(4|2|3),\ H(0|2|3).\]a) Die Sonne scheint aus der Richtung \(\vec v = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}\). Berechnen Sie die Schattenpunkte der vier oberen Ecken, geben Sie den Schattenumriss an und berechnen Sie den Flächeninhalt des Schattens.
b) Nachts wird der Platz von einem Scheinwerfer in \(L(-2|-2|9)\) beleuchtet. Berechnen Sie erneut die Schattenpunkte, den Umriss und den Flächeninhalt.
c) Vergleichen Sie die beiden Schatten. Woran erkennt man in der Zeichnung, ob Sonnenlicht oder ein Scheinwerfer die Quelle ist?
So lesen Sie das Bild
- Lichtstrahl, gestrichelt ab der Ecke bis zum Schattenpunkt
- Schatten auf dem Boden
- Punkt auf dem Rand des Schattens
- Punkt, der innen liegt
- Hilfslinie
Die Lösung Schritt für Schritt
Wählen Sie eine Teilaufgabe und blättern Sie mit Weiter und Zurück (oder den Pfeiltasten) durch die Lösung. Zu jedem Schritt erscheinen im Bild genau die Punkte und Geraden, mit denen gerade gerechnet wird.
Die Idee
v = (1 | 2 | −3)
L(−2|−2|9)
| Ecke | Schattenpunkt | \(t\) |
|---|
Rechenweg für die Ecke E
Das Wichtigste in Kürze
- Schattenpunkt = Schnitt des Lichtstrahls durch die Ecke mit dem Boden \(x_3 = 0\).
- Sonne: ein Richtungsvektor \(\vec v\) für alle Strahlen. Scheinwerfer: für jede Ecke \(P\) die eigene Richtung \(\overrightarrow{LP}\).
- Welche Ecken den Rand bilden, zeigt die Richtung, in die der Schatten wandert – das Gummiband ist die Kontrolle.
- Der tatsächliche Schatten ist der Umriss ohne die Grundfläche unter dem Haus.