Punkte und Körper im Raum
Das räumliche Koordinatensystem, Ebenen und Geraden – und wie lang eine Strecke wirklich ist
Das Koordinatensystem im Raum
In der Ebene genügten zwei Achsen. Im Raum brauchen wir eine dritte: \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) stehen paarweise senkrecht aufeinander und treffen sich im Ursprung \(O(0|0|0)\).
Auf dem Papier ist das ein Problem: Drei zueinander senkrechte Achsen passen nicht flach auf ein Blatt. Deshalb zeichnet man ein Schrägbild. Die \(x_2\)- und die \(x_3\)-Achse behalten ihre wahre Länge, die \(x_1\)-Achse wird schräg nach vorn gekippt und dabei verkürzt.
Die Zeichenregel auf Karopapier
Damit alle dasselbe Bild bekommen, halten wir uns an eine feste Regel. Jede Achse bekommt ihre eigene Schrittweite – abgezählt in Kästchen:
| Achse | Richtung im Bild | Eine Einheit entspricht |
|---|---|---|
| \(x_1\) | schräg nach links unten, im 45°-Winkel | eine Kästchen-Diagonale (ein Kästchen nach links, eines nach unten) |
| \(x_2\) | waagerecht nach rechts | 2 Kästchen |
| \(x_3\) | senkrecht nach oben | 2 Kästchen |
Die \(x_1\)-Achse zeigt aus dem Blatt heraus auf Sie zu. Alles, was einen großen \(x_1\)-Wert hat, liegt also vorn.
So übertragen Sie das Bild auf Ihr Karopapier
Ursprung auf einen Gitterpunkt setzen. Für einen Schritt in \(x_1\)-Richtung gehen Sie ein Kästchen nach links und ein Kästchen nach unten – also genau eine Diagonale. Für \(x_2\) zählen Sie 2 Kästchen nach rechts, für \(x_3\) 2 Kästchen nach oben. Mehr müssen Sie nicht wissen: Jeder Punkt landet dadurch wieder auf einem Gitterpunkt.
Punkte im Raum
Ein Punkt im Raum wird durch drei Koordinaten festgelegt: \(P(x_1|x_2|x_3)\). Die Reihenfolge ist verbindlich – erst \(x_1\), dann \(x_2\), dann \(x_3\).
Am sichersten findet man den Punkt über einen Treppenweg: vom Ursprung erst entlang der \(x_1\)-Achse nach vorn, dann parallel zur \(x_2\)-Achse nach rechts, zuletzt parallel zur \(x_3\)-Achse nach oben.
Koordinaten von \(P\) einstellen
Aufgabe 1 – Punkte ablesen und eintragen
a) Stellen Sie oben \(x_1 = 3\), \(x_2 = 5\) und \(x_3 = 2\) ein und notieren Sie den Ortsvektor von \(P\).
b) Welche Koordinaten hat der Punkt \(Q\), wenn man vom Ursprung aus 0 Schritte nach vorn, 4 nach rechts und 3 nach oben geht?
Ebenen im Raum
Je zwei Achsen spannen eine Koordinatenebene auf. Sie zerlegen den Raum in acht Bereiche (Oktanten). Beschreiben lassen sie sich erstaunlich einfach: Eine Koordinate ist festgelegt, die beiden anderen sind völlig frei.
Die drei Koordinatenebenen
\[ \underbrace{x_3 = 0}_{x_1x_2\text{-Ebene}} \qquad \underbrace{x_2 = 0}_{x_1x_3\text{-Ebene}} \qquad \underbrace{x_1 = 0}_{x_2x_3\text{-Ebene}} \]Merkhilfe: In der Gleichung steht immer die Achse, die nicht zum Namen der Ebene gehört.
Setzt man statt der \(0\) eine andere Zahl \(c\) ein, entsteht eine parallel verschobene Ebene. \(x_3 = 2\) ist zum Beispiel die Ebene aller Punkte in 2 Einheiten Höhe – parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene.
Ebene verschieben
Merke
Eine Gleichung der Form \(x_i = c\) beschreibt immer eine Ebene, die senkrecht auf der \(x_i\)-Achse steht und diese bei \(c\) schneidet. Ein Punkt liegt genau dann in dieser Ebene, wenn seine \(i\)-te Koordinate den Wert \(c\) hat – die anderen beiden sind egal.
Aufgabe 2 – Ebenen erkennen
a) In welcher Koordinatenebene liegt \(R(0|3|5)\)? Geben Sie die Ebenengleichung an.
b) Die Punkte \(A(1|2|4)\), \(B(5|0|4)\) und \(C(2|7|4)\) liegen in einer gemeinsamen Ebene. Welche?
c) Liegt \(D(3|3|1)\) in der Ebene \(x_2 = 3\)?
Geraden im Raum
Zwei verschiedene Punkte legen genau eine Gerade fest. Besonders übersichtlich wird das, wenn sich die beiden Punkte in genau einer Koordinate unterscheiden.
Beispiel
\[ P(3|1|2) \qquad Q(3|5|2) \]Die erste und die dritte Koordinate stimmen überein, nur die zweite ist verschieden. Auf der Geraden durch \(P\) und \(Q\) bleibt deshalb \(x_1 = 3\) und \(x_3 = 2\), während \(x_2\) jeden Wert annehmen darf. Die Gerade verläuft parallel zur \(x_2\)-Achse.
Man schreibt kurz: \(g:\ x_1 = 3,\ x_3 = 2\) – und ergänzt in Worten „\(x_2\) beliebig“. Probieren Sie unten alle drei Fälle durch.
Die beiden festen Koordinaten
Zwei Sonderfälle
Stellen Sie beide Regler auf \(0\): Die Gerade fällt mit einer Koordinatenachse zusammen. Die \(x_2\)-Achse ist also nichts anderes als die Gerade \(x_1 = 0,\ x_3 = 0\).
Steht nur einer der beiden Regler auf \(0\), so liegt die ganze Gerade in einer Koordinatenebene – zum Beispiel liegt \(x_1 = 0,\ x_3 = 3\) vollständig in der \(x_2x_3\)-Ebene.
Aufgabe 3 – Achsenparallele Geraden
a) Gegeben sind \(P(4|2|1)\) und \(Q(4|2|6)\). Zu welcher Achse ist die Gerade durch \(P\) und \(Q\) parallel? Tragen Sie die beiden festen Werte ein.
b) Genau ein Punkt \(R\) dieser Geraden liegt in der \(x_1x_2\)-Ebene. Geben Sie seine Koordinaten an.
Beispiel 1 – Ein Quader im Raum
Ein Quader liegt mit der Grundfläche in der \(x_1x_2\)-Ebene, die Ecke \(A\) im Ursprung. Seine Kanten verlaufen parallel zu den Achsen – deshalb lassen sich alle acht Eckpunkte sofort angeben.
| Grundfläche | Koordinaten | Deckfläche | Koordinaten |
|---|---|---|---|
| \(A\) | \((0|0|0)\) | \(E\) | \((0|0|3)\) |
| \(B\) | \((2|0|0)\) | \(F\) | \((2|0|3)\) |
| \(C\) | \((2|6|0)\) | \(G\) | \((2|6|3)\) |
| \(D\) | \((0|6|0)\) | \(H\) | \((0|6|3)\) |
Die Längen der Seiten
Schritt 1 – Die Kanten kann man ablesen
Bei einer achsenparallelen Kante ändert sich nur eine Koordinate. Die Kantenlänge ist dann einfach die Differenz dieser einen Koordinate:
\[ \overline{AB} = 2 - 0 = 2 \qquad \overline{AD} = 6 - 0 = 6 \qquad \overline{AE} = 3 - 0 = 3 \]Der Quader ist also \(2\) Einheiten tief (\(x_1\)), \(6\) Einheiten breit (\(x_2\)) und \(3\) Einheiten hoch (\(x_3\)).
Schritt 2 – Die Flächendiagonale \(\overline{AC}\)
\(A(0|0|0)\) und \(C(2|6|0)\) unterscheiden sich in zwei Koordinaten. Die Strecke \(\overline{AC}\) liegt flach in der Grundfläche; dort gilt der Satz des Pythagoras wie in der Ebene:
\[ \overline{AC} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 6{,}32 \]Die dritte Koordinate ändert sich nicht, sie steuert also nichts bei.
Schritt 3 – Die Raumdiagonale \(\overline{AG}\)
Von \(A(0|0|0)\) nach \(G(2|6|3)\) ändern sich alle drei Koordinaten. Jetzt kommt die dritte unter derselben Wurzel dazu:
\[ \overline{AG} = \sqrt{2^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7 \]Die Raumdiagonale dieses Quaders ist also genau 7 Einheiten lang. Warum man einfach das dritte Quadrat addieren darf, klären wir gleich.
Beispiel 2 – Eine quadratische Pyramide
Die Grundfläche ist ein Quadrat in der \(x_1x_2\)-Ebene, die Spitze \(S\) liegt senkrecht über dem Mittelpunkt \(M\) der Grundfläche.
Gegeben
\[ A(0|0|0) \quad B(4|0|0) \quad C(4|4|0) \quad D(0|4|0) \quad S(2|2|3) \]Der Mittelpunkt der Grundfläche ist \(M(2|2|0)\).
Die Längen der Seiten
Schritt 1 – Grundkante und Höhe
\(A(0|0|0)\) und \(B(4|0|0)\) unterscheiden sich nur in \(x_1\), also ist die Grundkante wieder direkt ablesbar. Ebenso \(M(2|2|0)\) und \(S(2|2|3)\):
\[ \overline{AB} = 4 \qquad h = \overline{MS} = 3 \]Dass \(\overline{MS}\) wirklich die Höhe ist, sieht man an den Koordinaten: \(M\) und \(S\) stimmen in \(x_1\) und \(x_2\) überein, die Strecke verläuft also parallel zur \(x_3\)-Achse und damit senkrecht zur Grundfläche.
Schritt 2 – Die Seitenkante \(\overline{AS}\)
Von \(A(0|0|0)\) nach \(S(2|2|3)\) ändern sich alle drei Koordinaten:
\[ \overline{AS} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 4 + 9} = \sqrt{17} \approx 4{,}12 \]Alle vier Seitenkanten sind gleich lang – die Spitze liegt ja mittig.
Schritt 3 – Kontrolle über die halbe Grundflächendiagonale
Dasselbe Ergebnis erhält man klassisch mit dem rechtwinkligen Dreieck \(AMS\). Die Grundflächendiagonale ist \(\overline{AC} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\), ihre Hälfte also \(\overline{AM} = 2\sqrt{2}\). Damit:
\[ \overline{AS} = \sqrt{\overline{AM}^{\,2} + h^2} = \sqrt{\left(2\sqrt{2}\right)^2 + 3^2} = \sqrt{8 + 9} = \sqrt{17} \]Beide Wege führen zum selben Wert – die Koordinatenrechnung spart aber den Umweg über die Diagonale.
Schritt 4 – Die Seitenhöhe
Die Höhe eines Seitendreiecks führt vom Mittelpunkt einer Grundkante zur Spitze. Für die Kante \(\overline{AB}\) ist das \(M_{AB}(2|0|0)\):
\[ \overline{M_{AB}S} = \sqrt{(2-2)^2 + (2-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{0 + 4 + 9} = \sqrt{13} \approx 3{,}61 \]Sie wird für die Oberfläche der Pyramide gebraucht – und ist kürzer als die Seitenkante, wie es sein muss.
Wie lang ist ein Vektor?
In beiden Beispielen haben wir dieselbe Rechnung benutzt: Quadrate der drei Differenzen addieren, Wurzel ziehen. Warum das stimmt, zeigt der Quader – man braucht den Satz des Pythagoras zweimal.
Ausgangslage
Länge eines Vektors
\[ \left|\vec a\right| = \left|\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \]Abstand zweier Punkte
\[ \left|\overrightarrow{PQ}\right| = \sqrt{(q_1 - p_1)^2 + (q_2 - p_2)^2 + (q_3 - p_3)^2} \]Beides ist dieselbe Formel: Erst \(\overrightarrow{PQ}\) als „Spitze minus Fuß“ bestimmen, dann seine Länge ausrechnen.
Beispiel A – Die Länge eines gegebenen Vektors
Gegeben ist \(\vec v = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}\). Alle drei Komponenten quadrieren, addieren, Wurzel ziehen:
\[ \left|\vec v\right| = \sqrt{2^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7 \]Das ist genau die Raumdiagonale des Quaders von oben – kein Zufall: \(\vec v = \overrightarrow{AG}\).
Beispiel B – Der Abstand zweier Punkte
Gegeben sind \(P(1|2|3)\) und \(Q(3|8|6)\). Erst der Verbindungsvektor, Spitze minus Fuß:
\[ \overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} \]Dann seine Länge:
\[ \left|\overrightarrow{PQ}\right| = \sqrt{2^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{49} = 7 \]Der Abstand von \(P\) und \(Q\) beträgt also \(7\) Einheiten.
Häufiger Fehler
Ziehen Sie die Wurzel erst am Schluss. \(\sqrt{4} + \sqrt{36} + \sqrt{9} = 2 + 6 + 3 = 11\) ist falsch – richtig ist \(\sqrt{4 + 36 + 9} = 7\). Und rechnen Sie \(\overrightarrow{PQ}\) immer als Spitze minus Fuß; das Vorzeichen ist egal, weil ohnehin quadriert wird.
Aufgabe 4 – Längen berechnen
a) Berechnen Sie die Länge von \(\vec a = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix}\).
b) Gegeben sind \(P(2|1|4)\) und \(Q(5|5|4)\). Bestimmen Sie zuerst \(\overrightarrow{PQ}\) und dann den Abstand der beiden Punkte.
c) Wie lang ist die Raumdiagonale eines Würfels mit der Kantenlänge \(5\)? Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.
Wie es weitergeht
Sie können jetzt Punkte und Körper im Raum darstellen, Ebenen und achsenparallele Geraden beschreiben und jede Streckenlänge ausrechnen. Damit steht das Handwerkszeug für die analytische Geometrie bereit.