Der Vektor von P nach Q
Die Rennbahn im Koordinatensystem – Ortsvektoren und Verbindungsvektoren
Der Ortsvektor
Dargestellt ist die Rennbahn in einem Koordinatensystem. Der Ursprung liegt am linken Ende der Start-/Ziellinie.
Den Pfeil vom Koordinatenursprung \(O\) zu einem Punkt \(P\) nennt man den Ortsvektor von \(P\), geschrieben \(\overrightarrow{OP}\). Seine beiden Zahlen sind genau die Koordinaten des Punktes.
Aufgaben 1 und 2
1. Notieren Sie die Ortsvektoren der Punkte \(P\) und \(Q\).
2. Lesen Sie ab, wie viele Kästchen der Pfeil von \(P\) nach \(Q\) nach rechts und nach oben führt. (Der Schalter oben blendet ihn ein.)
Aufgabe 3 – Der Umweg über den Ursprung
Ein Auto steht in \(P\) und soll nach \(Q\) fahren. Erläutern Sie ein Verfahren, mit dem man den Vektor von \(P\) nach \(Q\) allein aus den beiden Ortsvektoren berechnen kann. Nutzen Sie dabei den Umweg über den Ursprung.
Merksatz
Spitze minus Fuß. Der Verbindungsvektor zweier Punkte ist stets der Ortsvektor des Endpunktes minus der Ortsvektor des Anfangspunktes: \(\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP}\).
Die Rechnung in Spaltenschreibweise
In der Oberstufe wird ein Vektor fast immer als Spalte geschrieben: oben die Schritte in x-Richtung, unten die Schritte in y-Richtung. Tragen Sie die Rechnung von Aufgabe 3 einmal vollständig in dieser Schreibweise ein – erst die beiden Ortsvektoren, dann das Ergebnis.
Aufgabe 4 – Verfahren überprüfen
Überprüfen Sie Ihr Verfahren an den Punkten \(R\,(7 \mid 3)\) und \(S\,(2 \mid -3)\). Der Schalter oben zeichnet beide Punkte ein.
Schreiben Sie die Rechnung vollständig in Spaltenschreibweise auf.
Aufgabe 5 – Zusatz
Welchen Zusammenhang haben der Vektor von \(P\) nach \(Q\) und der Vektor von \(Q\) nach \(P\)?
Mehrere Züge auf einmal
Im Rennen fährt man selten nur einen Zug. Was passiert, wenn man zwei verschiedene Züge beliebig oft kombiniert? Genau darum geht es auf der nächsten Seite.