Linearkombination von Vektoren
Mit zwei Zügen jeden Punkt der Ebene erreichen – oder eben doch nicht
Definition
Sind \(\vec a\) und \(\vec b\) zwei Vektoren und \(r, s\) zwei reelle Zahlen, so heißt
\[ r \cdot \vec a + s \cdot \vec b \]eine Linearkombination von \(\vec a\) und \(\vec b\). Anschaulich geht man \(r\)-mal den Pfeil \(\vec a\) und anschließend \(s\)-mal den Pfeil \(\vec b\) – genau wie beim Autorennen, nur mit beliebigen Faktoren statt ganzer Züge.
Aufgabe 1 – Rückblick auf das Rennen
Ein Auto fährt vom Startpunkt aus zuerst dreimal hintereinander denselben Zug \(\vec v\) und danach zweimal den Zug \(\vec w\).
a) Geben Sie den gesamten Verschiebungsvektor vom Start bis zum Endpunkt so kurz wie möglich an.
b) Begründen Sie, warum die Reihenfolge der fünf Züge für den Endpunkt keine Rolle spielt – wohl aber für den gefahrenen Weg.
Aufgabe 2 – Ein Ziel ansteuern
In der Abbildung sind zwei Vektoren eingezeichnet. Sie sind die einzigen „Züge“, die erlaubt sind – jeden davon dürfen Sie beliebig oft hintereinander gehen. Die Frage ist, ob Sie damit den Punkt \(Z\) erreichen können.
Gegeben
\[ \vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad \vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \] \[ \overrightarrow{OZ} = \begin{pmatrix} 8 \\ 9 \end{pmatrix} \]\(\vec a\) führt 2 nach rechts und 1 nach oben, \(\vec b\) führt 1 nach rechts und 3 nach oben. Zielpunkt ist \(Z\,(8 \mid 9)\); \(\overrightarrow{OZ}\) ist sein Ortsvektor.
Stellen Sie \(r\) und \(s\) mit den Reglern ein und beobachten Sie, wo die Pfeilkette endet. Zu Beginn stehen beide Regler auf 0 – zu sehen sind nur \(\vec a\) und \(\vec b\) selbst.
Faktoren einstellen
a) Zeichnen Sie \(2 \cdot \vec a\), \(-\vec b\) sowie \(\vec a + \vec b\) in das Koordinatensystem ein. Nutzen Sie dafür die Regler.
b) Bestimmen Sie zeichnerisch Zahlen \(r\) und \(s\), sodass der Ortsvektor von \(Z\) gleich \(r \cdot \vec a + s \cdot \vec b\) ist.
Vom Ansatz zum Gleichungssystem
Probieren führt hier zum Ziel, ist aber unsicher – bei krummen Zahlen findet man die Lösung nicht mehr durch Hinsehen. Deshalb rechnet man. Der Weg dahin ist immer derselbe und besteht aus vier Schritten.
Schritt 1 – Den Ansatz aufschreiben
Gesucht sind zwei Zahlen \(r\) und \(s\), sodass die Pfeilkette genau bei \(Z\) endet. Als Gleichung:
\[ r \cdot \vec a + s \cdot \vec b = \overrightarrow{OZ} \]Das ist eine Vektorgleichung: Links und rechts steht jeweils ein Vektor.
Schritt 2 – Die Zahlen einsetzen
Für \(\vec a\), \(\vec b\) und \(\overrightarrow{OZ}\) werden die gegebenen Spalten eingesetzt:
\[ r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 9 \end{pmatrix} \]\(r\) und \(s\) sind dabei ganz gewöhnliche Zahlen, keine Vektoren.
Schritt 3 – Linke Seite zu einem Vektor zusammenfassen
Beim Vervielfachen wird jede Komponente mit der Zahl multipliziert (das kennen Sie vom Orientierungspunkt: \(2 \cdot \vec v\)):
\[ \begin{pmatrix} 2r \\ r \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} s \\ 3s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 9 \end{pmatrix} \]Addiert wird ebenfalls komponentenweise – obere Zeile mit oberer, untere mit unterer:
\[ \begin{pmatrix} 2r + s \\ r + 3s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 9 \end{pmatrix} \]Jetzt steht auf beiden Seiten genau ein Vektor.
Schritt 4 – Die Vektorgleichung zeilenweise lesen
Zwei Vektoren sind genau dann gleich, wenn sie in jeder Komponente übereinstimmen. Die obere Zeile muss also für sich stimmen und die untere ebenfalls. Aus einer Vektorgleichung werden so zwei gewöhnliche Gleichungen:
\[ \begin{aligned} 2r + s &= 8 \\ r + 3s &= 9 \end{aligned} \]Die erste Gleichung stammt aus der oberen Zeile, also den x-Komponenten; die zweite aus der unteren Zeile, den y-Komponenten.
Das ist ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten – genau die Sorte, die Sie aus Klasse 8 kennen.
Merke
Eine Vektorgleichung in der Ebene entspricht immer zwei Gleichungen, eine im Raum entsprechend drei. Dieser Schritt – vom Vektoransatz zum Gleichungssystem – kommt in der analytischen Geometrie ständig vor: bei Linearkombinationen genauso wie später beim Schnitt von Geraden und Ebenen.
c) Lösen Sie das Gleichungssystem aus Schritt 4 und bestätigen Sie damit Ihr zeichnerisches Ergebnis aus b).
Aufgabe 3 – Wenn es nicht funktioniert
Ersetzen Sie nun \(\vec b\) durch den Vektor \(\vec c = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}\), der 4 Kästchen nach rechts und 2 nach oben führt. Die Schaltfläche unter den Reglern schaltet um.
a) Vergleichen Sie \(\vec c\) mit \(\vec a\). Was fällt auf?
b) Untersuchen Sie, welche Punkte der Ebene sich in der Form \(r \cdot \vec a + s \cdot \vec c\) darstellen lassen. Begründen Sie, dass \(Z\) nicht dazugehört.
c) Formulieren Sie eine Bedingung dafür, wann sich jeder Vektor der Ebene als Linearkombination zweier gegebener Vektoren schreiben lässt.
Merke
Zwei Vektoren, von denen keiner ein Vielfaches des anderen ist, heißen linear unabhängig. Zwei linear unabhängige Vektoren der Ebene bilden eine Basis: Jeder Vektor der Ebene lässt sich als Linearkombination der beiden darstellen – und zwar auf genau eine Weise.
Sind die beiden dagegen Vielfache voneinander, erreicht man nur die Punkte einer einzigen Geraden durch den Ursprung.
Zusatzaufgabe
Zum Schluss noch einmal zurück auf die Rennbahn. Nach Regel 4 dürfen Sie in jedem Zug nur ein wenig lenken: Der neue Zugpfeil \(\vec v_k\) ist der alte Pfeil \(\vec v_{k-1}\) plus eine kleine Änderung \(\vec a_k\), deren Komponenten nur \(-1\), \(0\) oder \(1\) sein können. Das Auto startet aus dem Stand, also mit \(\vec v_0 = \vec 0\):
\[ \begin{aligned} \vec v_1 &= \vec v_0 + \vec a_1 \\ \vec v_2 &= \vec v_1 + \vec a_2 \\ \vec v_3 &= \vec v_2 + \vec a_3 \end{aligned} \]Der Ortsvektor nach \(n\) Zügen ist die Summe aller gefahrenen Zugpfeile, also \(\vec v_1 + \vec v_2 + \dots + \vec v_n\) (das war die Erkenntnis aus Aufgabe 1 auf der Seite Vom Pfeil zur Zahl).
Zeigen Sie, dass sich dieser Ortsvektor als Linearkombination der Änderungsvektoren \(\vec a_1, \dots, \vec a_n\) schreiben lässt, und bestimmen Sie die Faktoren. Rechnen Sie zuerst \(n = 2\), dann \(n = 3\).
Geschafft
Damit ist der Einstieg in die Vektorrechnung komplett: vom Spielzug über das Zahlenpaar und den Ortsvektor bis zur Basis der Ebene. Probieren Sie das Rennen noch einmal – mit dem Wissen über Vektoraddition und Vielfache fahren Sie deutlich sauberer durch die Kurven.