Verschoben und gespiegelt
Was passiert mit dem Graphen von \(2^x\), wenn du \(3\) addierst? Oder ein Minus davorsetzt? Hier verschiebst und spiegelst du selbst – und lernst anschließend, wie du aus einem fertigen Graphen den Funktionsterm \(f(x) = a \cdot b^x + d\) abliest.
Das weißt du schon: \(f(x) = a \cdot b^x\)
- \(a\) ist der Startwert: Der Graph schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \((0 \mid a)\).
- \(b\) ist der Wachstumsfaktor: Wird \(x\) um \(1\) größer, wird der \(y\)-Wert mit \(b\) multipliziert.
\(b > 1\): exponentielles Wachstum · \(0 < b < 1\): exponentielle Abnahme - Die Asymptote: Der Graph nähert sich der \(x\)-Achse beliebig nah an, erreicht sie aber nie. Die Gerade \(y = 0\) ist die Asymptote.
Unsicher? Hier geht es zur Wiederholung von \(f(x) = a \cdot b^x\).
1. Entdecken: verschieben und spiegeln
Der graue Graph ist immer \(f(x) = 2^x\). Mit den Reglern veränderst du \(a\) und \(d\) – beobachte dabei vor allem die orange gestrichelte Asymptote.
Die Wertetabelle wandert mit
Jeder \(y\)-Wert von \(2^x\) wird mit \(a\) multipliziert und danach um \(d\) verschoben.
| \(x\) | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(2^x\) | 0,25 | 0,5 | 1 | 2 | 4 | 8 |
| \(f(x)\) |
Probiere gezielt aus
- Stelle \(d = 3\) ein: Um wie viel wandert jeder Punkt nach oben? Wo liegt jetzt die Asymptote?
- Stelle \(a = -1\) und \(d = 0\) ein: Der Graph klappt an der \(x\)-Achse um. Achtung: \(-2^x\) bedeutet \(-(2^x)\) – erst potenzieren, dann das Minus.
- Stelle \(a = -1\) und \(d = 4\) ein: Liegt der Graph jetzt oberhalb oder unterhalb seiner Asymptote?
Merke
Für die Funktion \(f(x) = a \cdot b^x + d\) gilt:
- Der Graph ist gegenüber \(y = a \cdot b^x\) um \(d\) Einheiten in \(y\)-Richtung verschoben. Die waagerechte Asymptote ist die Gerade \(y = d\).
- Ist \(a\) negativ, dann ist der Graph an der \(x\)-Achse gespiegelt (und danach verschoben). Der Graph liegt dann unterhalb seiner Asymptote.
- Der Graph schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \(S(0 \mid a + d)\).
2. Vom Graphen zum Funktionsterm
Die Idee: Startwert und Wachstumsfaktor kannst du nur an Graphen ablesen, deren Asymptote die \(x\)-Achse ist. Also stell dir vor, wie der Graph aussähe, wenn du ihn so verschiebst, dass seine Asymptote genau auf der \(x\)-Achse liegt. An diesem vorgestellten Graphen liest du \(a\) und \(b\) ab – und schiebst zum Schluss wieder zurück.
blau = gegebener Graph · orange gestrichelt = Asymptote · grau gestrichelt = vorgestellter Graph
Der gegebene Graph
Dein Rezept in fünf Schritten
- Asymptote ablesen: Die waagerechte Gerade, an die sich der Graph anschmiegt, ist \(y = d\).
- In Gedanken verschieben: Ziehe von jedem \(y\)-Wert \(d\) ab, dann liegt die Asymptote auf der \(x\)-Achse.
- Startwert ablesen: \(a = f(0) - d\) – der \(y\)-Achsenabschnitt des vorgestellten Graphen.
- Wachstumsfaktor ablesen: \(b = \dfrac{f(1) - d}{f(0) - d}\) – zwei vorgestellte \(y\)-Werte im Abstand \(1\) geteilt.
- Term aufschreiben und Probe machen: \(f(x) = a \cdot b^x + d\) mit einem weiteren Punkt prüfen.
Das Vorgehen verstehen
Beantworte mithilfe der drei Beispiele.
- Warum schiebt man den Graphen in Gedanken erst so, dass die Asymptote auf der \(x\)-Achse liegt? Warum kann man \(a\) nicht einfach direkt am \(y\)-Achsenabschnitt ablesen?
- Woran erkennst du am Graphen, ob \(a\) positiv oder negativ ist?
- Woran erkennst du, ob \(b > 1\) oder \(0 < b < 1\) ist? Tipp: Achte darauf, wie sich der Abstand zur Asymptote verändert, wenn du nach rechts gehst.
- Im Beispiel 3 fällt der Graph, obwohl \(b = 2 > 1\) ist. Erkläre.
3. Eigenschaften aus dem Term ablesen
Fülle die Tabelle aus, ohne die Graphen zu zeichnen. Erst danach kannst du dir jede Zeile zur Kontrolle zeichnen lassen.
| Funktion | Asymptote \(y =\) | \(y\)-Achsenabschnitt | gespiegelt? | Verlauf | Graph |
|---|
Klicke in der Tabelle auf „Zeigen“, um den Graphen einer Funktion zu sehen.
4. Übung: Funktionsterm aus dem Graphen
Bestimme jeweils den Funktionsterm in der Form \(f(x) = a \cdot b^x + d\). Die Asymptote ist orange gestrichelt eingezeichnet. Trage \(a\), \(b\) und \(d\) ein und überprüfe.
\(f(x) = a \cdot b^x + d\)
5. Funktionsterm aus Angaben bestimmen
Hier ist kein Graph gegeben, sondern nur die Asymptote und zwei Punkte. Das Rezept funktioniert trotzdem: von beiden \(y\)-Werten \(d\) abziehen, dann \(a\) und \(b\) bestimmen.
Aufgabe a)
Asymptote \(y = 2\), der Graph geht durch \(P(0 \mid 7)\) und \(Q(1 \mid 12)\).
Aufgabe b)
Asymptote \(y = -1\), der Graph geht durch \(P(0 \mid -4)\) und \(Q(1 \mid -7)\).
Aufgabe c)
Asymptote \(y = 10\), der Graph geht durch \(P(0 \mid 2)\) und \(Q(1 \mid 6)\).
Knobelaufgabe d)
Asymptote \(y = 1\), der Graph geht durch \(P(0 \mid 4)\) und \(Q(2 \mid 13)\).
Vorsicht: Die \(x\)-Werte unterscheiden sich um \(2\), nicht um \(1\)!
6. Graphen skizzieren – rückwärts
Skizziere die Graphen zuerst selbst in dein Heft. Gehe rückwärts vor: erst die Asymptote zeichnen, dann den Graphen von \(y = a \cdot b^x\) vorstellen und verschieben. Danach kontrollierst du hier.
Asymptote zeichnen
7. Anwendung: Tee kühlt ab
Eine Tasse Tee hat \(90\,^\circ\text{C}\) und steht in einem Raum mit \(20\,^\circ\text{C}\). Nach einer Minute hat der Tee noch \(83\,^\circ\text{C}\). Die Temperatur \(T\) (in \(^\circ\text{C}\)) nach \(t\) Minuten lässt sich durch \(T(t) = a \cdot b^t + d\) beschreiben.
Frisch aufgegossen.
- Begründe, warum die Asymptote hier \(y = 20\) ist.
- Bestimme den Funktionsterm \(T(t)\).
- Welche Temperatur hat der Tee nach \(10\) Minuten?
- Zusatz: Nach wie vielen Minuten ist der Tee auf \(40\,^\circ\text{C}\) abgekühlt?
8. Wahr oder falsch?
Entscheide zuerst im Kopf – am besten mit einer kleinen Skizze. Nach deiner Antwort siehst du den passenden Graphen.
Beantworte eine Aussage, um den zugehörigen Graphen zu sehen.