Gleichungssysteme: Altersaufgabe

Die Altersaufgabe

Eine Mutter ist heute 30 Jahre älter als ihr Sohn. In 5 Jahren wird sie doppelt so alt sein wie ihr Sohn. Wie alt sind Mutter und Sohn heute?

Schritt 1: Variablen festlegen

Zuerst müssen wir Variablen für die unbekannten Werte festlegen:

x = Das Alter des Sohnes heute (in Jahren)

y = Das Alter der Mutter heute (in Jahren)

Wir wollen das Alter von Mutter und Sohn bestimmen, daher definieren wir für beide eine eigene Variable.

Schritt 2: Gleichungen aufstellen

Nun stellen wir die Gleichungen basierend auf den gegebenen Informationen auf:

Erste Bedingung: "Eine Mutter ist heute 30 Jahre älter als ihr Sohn."

y = x + 30 (Gleichung 1)

Das Alter der Mutter y ist 30 Jahre mehr als das Alter des Sohnes x.

Zweite Bedingung: "In 5 Jahren wird sie doppelt so alt sein wie ihr Sohn."

y + 5 = 2(x + 5) (Gleichung 2)

In 5 Jahren ist die Mutter (y + 5) Jahre alt und der Sohn (x + 5) Jahre alt. Die Mutter ist dann doppelt so alt wie der Sohn.

Gleichungssystem: Beide Gleichungen ergeben zusammen unser Gleichungssystem:

y = x + 30

y + 5 = 2(x + 5)

Schritt 3: Lösungsmethode wählen

Wähle eine Methode, um das Gleichungssystem zu lösen:

Grafische Lösung

Wir zeichnen beide Geraden in ein Koordinatensystem und suchen den Schnittpunkt. Dazu müssen wir die zweite Gleichung zuerst vereinfachen:

y + 5 = 2(x + 5)

y + 5 = 2x + 10

y = 2x + 5

y = x + 30 (Gleichung 1)
y = 2x + 5 (Gleichung 2 vereinfacht)

Lösung aus dem Graphen:

Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der Punkt (25, 55).

Das bedeutet:

Der Sohn ist heute x = 25 Jahre alt.
Die Mutter ist heute y = 55 Jahre alt.

Überprüfung:

Mutter ist 30 Jahre älter: 55 = 25 + 30 ✓
In 5 Jahren ist die Mutter doppelt so alt: 55 + 5 = 2(25 + 5) ⟹ 60 = 2 · 30 = 60 ✓

Lösung mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens

Schritt 1: Unsere beiden Gleichungen:

y = x + 30 (Gleichung 1)

y + 5 = 2(x + 5) (Gleichung 2)

Schritt 2: Wir vereinfachen die zweite Gleichung:

y + 5 = 2(x + 5)

y + 5 = 2x + 10

y = 2x + 5

Schritt 3: Wir setzen beide Ausdrücke für y gleich:

x + 30 = 2x + 5

Schritt 4: Wir lösen nach x auf:

x + 30 = 2x + 5

x - 2x = 5 - 30

-x = -25

x = 25

Schritt 5: Wir setzen den Wert für x in die erste Gleichung ein, um y zu berechnen:

y = 25 + 30

y = 55

Lösung mit dem Gleichsetzungsverfahren:

Die Altersangaben sind:

Der Sohn ist heute x = 25 Jahre alt.
Die Mutter ist heute y = 55 Jahre alt.

Überprüfung:

Mutter ist 30 Jahre älter: 55 = 25 + 30 ✓
In 5 Jahren ist die Mutter doppelt so alt: 55 + 5 = 2(25 + 5) ⟹ 60 = 2 · 30 = 60 ✓

Lösung mithilfe des Einsetzungsverfahrens

Schritt 1: Unsere beiden Gleichungen:

y = x + 30 (Gleichung 1)

y + 5 = 2(x + 5) (Gleichung 2)

Schritt 2: Die erste Gleichung gibt uns bereits y ausgedrückt durch x:

y = x + 30

Schritt 3: Wir setzen diesen Ausdruck für y in die zweite Gleichung ein:

(x + 30) + 5 = 2(x + 5)

x + 35 = 2x + 10

Schritt 4: Wir lösen nach x auf:

x + 35 = 2x + 10

x - 2x = 10 - 35

-x = -25

x = 25

Schritt 5: Wir setzen den Wert für x in die erste Gleichung ein, um y zu berechnen:

y = 25 + 30

y = 55

Lösung mit dem Einsetzungsverfahren:

Die Altersangaben sind:

Der Sohn ist heute x = 25 Jahre alt.
Die Mutter ist heute y = 55 Jahre alt.

Überprüfung:

Mutter ist 30 Jahre älter: 55 = 25 + 30 ✓
In 5 Jahren ist die Mutter doppelt so alt: 55 + 5 = 2(25 + 5) ⟹ 60 = 2 · 30 = 60 ✓

Lösung mithilfe des Additionsverfahrens

Schritt 1: Unsere beiden Gleichungen:

y = x + 30 (Gleichung 1)

y + 5 = 2(x + 5) (Gleichung 2)

Schritt 2: Wir vereinfachen die zweite Gleichung und stellen beide so um, dass alle Variablen auf der linken Seite stehen:

y - x = 30 (Gleichung 1 umgestellt)

y + 5 = 2x + 10

y - 2x = 5 (Gleichung 2 umgestellt)

Schritt 3: Wir multiplizieren die erste Gleichung mit 2 und subtrahieren die zweite Gleichung, um y zu eliminieren:

2y - 2x = 60 (Gleichung 1 mit 2 multipliziert)

y - 2x = 5 (Gleichung 2 umgestellt)

-----------------

y = 55

Schritt 4: Wir setzen den Wert für y in die erste Gleichung ein, um x zu berechnen:

55 = x + 30

x = 25

Lösung mit dem Additionsverfahren:

Die Altersangaben sind:

Der Sohn ist heute x = 25 Jahre alt.
Die Mutter ist heute y = 55 Jahre alt.

Überprüfung:

Mutter ist 30 Jahre älter: 55 = 25 + 30 ✓
In 5 Jahren ist die Mutter doppelt so alt: 55 + 5 = 2(25 + 5) ⟹ 60 = 2 · 30 = 60 ✓