\(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{2}\)
\(\frac{3}{5} \div \frac{1}{2} = \frac{6}{5}\)
\(2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\)

Multiplikation und Division von Brüchen

Lerne die einfachen Regeln zum Multiplizieren und Dividieren von Brüchen und verstehe, warum sie funktionieren.

Multiplikation und Division von Brüchen

Lerne die einfachen Regeln zum Multiplizieren und Dividieren von Brüchen und verstehe, warum sie funktionieren.

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Multiplikation von Brüchen

Bei der Multiplikation von Brüchen multiplizierst du einfach Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner - kein gemeinsamer Nenner nötig!

Regel: Multiplikation von Brüchen

Bei der Multiplikation von Brüchen multiplizierst du einfach Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner.

\(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}\)

Die Multiplikation von Brüchen ist viel einfacher als die Addition oder Subtraktion, da du keinen gemeinsamen Nenner benötigst!

Denke daran, das Ergebnis wenn möglich zu kürzen!

Beispiel 1: Einfache Multiplikation

Berechne \(\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}\)

1

Zähler multiplizieren

Multipliziere die Zähler: \(2 \cdot 4 = 8\)

2

Nenner multiplizieren

Multipliziere die Nenner: \(3 \cdot 5 = 15\)

3

Ergebnis aufschreiben

\(\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15}\)
4

Ergebnis überprüfen

Der Bruch \(\frac{8}{15}\) kann nicht weiter gekürzt werden, da 8 und 15 teilerfremd sind.

Veranschaulichung der Multiplikation \(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

\(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}\)

Der rot markierte Bereich ist \(\frac{1}{3}\) des Ganzen

2 3

\(\frac{2}{3}\) des Ganzen

1 2

\(\frac{1}{2}\) des Ganzen

1 3

\(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}\)

Beispiel 2: Multiplikation mit Kürzen

Berechne \(\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9}\)

1

Vor dem Multiplizieren kürzen

Wir können vor dem Multiplizieren Zahlen kürzen, die sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommen. In diesem Fall können wir 4 und 8 kürzen:

\(\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9} = \frac{3 \cdot (8 \div 4)}{(4 \div 4) \cdot 9} = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 9} = \frac{6}{9}\)
2

Ergebnis kürzen

Der Bruch \(\frac{6}{9}\) kann durch 3 gekürzt werden:

\(\frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}\)
3

Ergebnis überprüfen

Der Bruch \(\frac{2}{3}\) kann nicht weiter gekürzt werden.

Tipp: Kürzen vor dem Multiplizieren

Bei der Multiplikation von Brüchen ist es oft einfacher, vor dem Multiplizieren zu kürzen, wenn es gemeinsame Faktoren im Zähler des einen Bruchs und im Nenner des anderen Bruchs gibt.

Beispiel: \(\frac{5}{6} \cdot \frac{12}{25} = \frac{5}{6} \cdot \frac{12}{25} = \frac{5 \cdot 12}{6 \cdot 25} = \frac{5 \cdot 12}{6 \cdot 25} = \frac{5 \cdot 2 \cdot 6}{6 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{2 \cdot 6}{5 \cdot 5} = \frac{12}{25}\)

Dabei haben wir diagonal gekürzt: Die 5 im Zähler des ersten Bruchs mit der 5 im Nenner des zweiten Bruchs, und die 6 im Nenner des ersten Bruchs mit der 6 im Zähler des zweiten Bruchs (als Teil von 12 = 2 · 6).

Multiplikation von Brüchen mit ganzen Zahlen

Eine ganze Zahl kannst du als Bruch schreiben, dann funktioniert die Multiplikation wie gewohnt.

Regel: Multiplikation mit ganzen Zahlen

Eine ganze Zahl \(n\) kannst du als Bruch \(\frac{n}{1}\) schreiben. Die Multiplikation funktioniert dann genauso wie bei Brüchen.

\(n \cdot \frac{a}{b} = \frac{n \cdot a}{b}\)

Das bedeutet: Multipliziere die ganze Zahl mit dem Zähler des Bruchs, der Nenner bleibt unverändert.

Beispiel: Multiplikation mit einer ganzen Zahl

Berechne \(3 \cdot \frac{4}{5}\)

1

Ganze Zahl mit dem Zähler multiplizieren

Multipliziere die ganze Zahl mit dem Zähler: \(3 \cdot 4 = 12\)

2

Nenner bleibt unverändert

Der Nenner bleibt gleich: 5

3

Ergebnis aufschreiben

\(3 \cdot \frac{4}{5} = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5}\)

Division von Brüchen

Bei der Division von Brüchen bildest du den Kehrwert des Divisors und multiplizierst dann.

Regel: Division von Brüchen

Bei der Division von Brüchen musst du den zweiten Bruch (den Divisor) umkehren (Kehrwert bilden) und dann multiplizieren.

\(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}\)

Den Kehrwert eines Bruchs \(\frac{a}{b}\) erhältst du, indem du Zähler und Nenner vertauschst: \(\frac{b}{a}\)

Beispiel 1: Division von Brüchen

Berechne \(\frac{3}{4} \div \frac{2}{5}\)

1

Kehrwert des Divisors bilden

Der Kehrwert von \(\frac{2}{5}\) ist \(\frac{5}{2}\)

2

Multiplikation durchführen

\(\frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 2} = \frac{15}{8}\)
3

Als gemischte Zahl darstellen

\(\frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}\)

4

Ergebnis überprüfen

Der Bruch \(\frac{15}{8}\) bzw. \(1\frac{7}{8}\) kann nicht weiter gekürzt werden.

Beispiel 2: Division mit Kürzen

Berechne \(\frac{5}{6} \div \frac{5}{9}\)

1

Kehrwert des Divisors bilden

Der Kehrwert von \(\frac{5}{9}\) ist \(\frac{9}{5}\)

2

Vor dem Multiplizieren kürzen

Wir können die 5 im Zähler des ersten Bruchs mit der 5 im Nenner des Kehrwerts kürzen:

\(\frac{5}{6} \cdot \frac{9}{5} = \frac{5 \div 5}{6} \cdot \frac{9}{5 \div 5} = \frac{1}{6} \cdot \frac{9}{1} = \frac{1 \cdot 9}{6 \cdot 1} = \frac{9}{6}\)
3

Ergebnis kürzen

Der Bruch \(\frac{9}{6}\) kann durch 3 gekürzt werden:

\(\frac{9}{6} = \frac{9 \div 3}{6 \div 3} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}\)

Tipp: Warum funktioniert die Division so?

Die Division durch einen Bruch \(\frac{a}{b}\) ist gleichbedeutend mit der Multiplikation mit seinem Kehrwert \(\frac{b}{a}\).

Das liegt daran, dass die Division durch einen Wert das Gleiche ist wie die Multiplikation mit dem Kehrwert dieses Werts:

\(\frac{x}{y} \div \frac{a}{b} = \frac{x}{y} \cdot \frac{b}{a}\)

Diese Regel macht die Division von Brüchen einfacher, da wir sie auf eine Multiplikation zurückführen können.

Division von Brüchen und ganzen Zahlen

Auch ganze Zahlen können als Brüche geschrieben und dann dividiert werden.

Regel: Division mit ganzen Zahlen

Es gibt zwei Fälle:

Fall 1: Division einer ganzen Zahl durch einen Bruch

\(n \div \frac{a}{b} = n \cdot \frac{b}{a} = \frac{n \cdot b}{a}\)

Fall 2: Division eines Bruchs durch eine ganze Zahl

\(\frac{a}{b} \div n = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{n} = \frac{a}{b \cdot n}\)

Beispiel 1: Ganze Zahl durch Bruch

Berechne \(6 \div \frac{2}{3}\)

1

Die ganze Zahl als Bruch schreiben

Wir können 6 als \(\frac{6}{1}\) schreiben

2

Kehrwert des Divisors bilden

Der Kehrwert von \(\frac{2}{3}\) ist \(\frac{3}{2}\)

3

Multiplikation durchführen

\(6 \div \frac{2}{3} = \frac{6}{1} \cdot \frac{3}{2} = \frac{6 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{18}{2} = 9\)

Beispiel 2: Bruch durch ganze Zahl

Berechne \(\frac{3}{4} \div 2\)

1

Die ganze Zahl als Bruch schreiben

Wir können 2 als \(\frac{2}{1}\) schreiben

2

Kehrwert des Divisors bilden

Der Kehrwert von \(\frac{2}{1}\) ist \(\frac{1}{2}\)

3

Multiplikation durchführen

\(\frac{3}{4} \div 2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} = \frac{3}{8}\)
4

Alternative Methode

Bei der Division eines Bruchs durch eine ganze Zahl kannst du auch einfach den Nenner mit der ganzen Zahl multiplizieren:

\(\frac{3}{4} \div 2 = \frac{3}{4 \cdot 2} = \frac{3}{8}\)

Übungsaufgaben

Teste dein Wissen mit diesen Übungsaufgaben zur Multiplikation und Division von Brüchen.

Aufgabe 1: Multiplikation von Brüchen

Berechne \(\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{7}\)

Aufgabe 2: Multiplikation mit Kürzen

Berechne \(\frac{3}{5} \cdot \frac{10}{12}\)

Aufgabe 3: Division von Brüchen

Berechne \(\frac{2}{3} \div \frac{4}{5}\)

Aufgabe 4: Division mit einer ganzen Zahl

Berechne \(4 \div \frac{2}{3}\)

Aufgabe 5: Multiplikation und Division kombiniert

Berechne \(\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} \div \frac{3}{10}\)

Addition und Subtraktion Textaufgaben