Die Sinusfunktion entsteht am Einheitskreis
Lass den Punkt \(P\) einmal ganz um den Einheitskreis laufen und übertrage seine Höhe in ein Koordinatensystem: So entsteht der Graph der Sinusfunktion. Danach untersuchst du seine Eigenschaften.
Worum es geht
Diese Seite begleitet zwei Arbeitsblätter:
- Sinus und Kosinus am Einheitskreis: kurze Wiederholung und danach der Graph der Sinusfunktion, Punkt für Punkt gezeichnet.
- Eigenschaften der Sinusfunktion: Definitions- und Wertebereich, Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte, Monotonie, Amplitude und Periode.
Bearbeite zuerst die Aufgabe auf dem Arbeitsblatt und kontrolliere sie dann hier. Wenn du beim Einheitskreis unsicher bist, schau noch einmal auf die Seite Einheitskreis.
Teil 1: Wiederholung am Einheitskreis
So liest man ab
Der Einheitskreis ist ein Kreis um den Ursprung \(O\) mit dem Radius 1. Der Winkel \(\alpha\) wird an der positiven \(x\)-Achse angetragen. Sein zweiter Schenkel schneidet den Kreis im Punkt \(P\).
- \(\sin\alpha\) ist die \(y\)-Koordinate (Höhe) von \(P\).
- \(\cos\alpha\) ist die \(x\)-Koordinate von \(P\).
- \(\tan\alpha\): Verlängere den Schenkel bis zur Tangente bei \(x = 1\). \(\tan\alpha\) ist die Höhe des Schnittpunkts \(T\).
Aufgabe 1: Warum kann man ablesen?
Erkläre mithilfe des grauen rechtwinkligen Dreiecks in der Zeichnung oben, warum man \(\sin\alpha\) als \(y\)-Koordinate und \(\cos\alpha\) als \(x\)-Koordinate von \(P\) ablesen kann.
Tipp: Wie sind Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck definiert? Wie lang ist die Hypotenuse?
Aufgabe 2: Abgelesene Werte kontrollieren
Zeichne für \(\alpha = 20^\circ\), \(45^\circ\) und \(70^\circ\) den Punkt \(P\) ein und markiere \(\sin\alpha\), \(\cos\alpha\) und \(\tan\alpha\) farbig. Lies die Werte auf zwei Nachkommastellen ab (ein Kästchen = \(0{,}05\)) und trage sie hier ein. Eine Abweichung von \(0{,}02\) ist beim Ablesen in Ordnung. Passt \(\tan\alpha\) nicht mehr auf das Blatt, schreibe zu groß.
| \(\alpha\) | \(\sin\alpha\) | \(\cos\alpha\) | \(\tan\alpha\) |
|---|---|---|---|
| 20° | |||
| 45° | |||
| 70° |
Aufgabe 3: Was passiert mit den Werten?
Wähle passend aus.
| \(\sin\alpha\) | \(\cos\alpha\) | \(\tan\alpha\) | |
|---|---|---|---|
| α = 45° | |||
| α nahe 0° | |||
| α nahe 90° |
a) Begründe, warum bei 45° Sinus und Kosinus gleich groß sind.
b) Begründe, warum man \(\tan 90^\circ\) nicht angeben kann.
Teil 2: Die Sinusfunktion am Einheitskreis zeichnen
Der Punkt \(P\) läuft einmal ganz um den Kreis, in Schritten von 15°. Bei jedem Schritt wird seine Höhe \(\sin\alpha\) waagerecht nach rechts übertragen, bis zur Gitterlinie beim Winkel \(\alpha\). Dort entsteht ein Kreuz. Am Ende werden die Kreuze zu einer glatten Kurve verbunden.
- Punkt \(P\) zum Winkel \(\alpha\) suchen
- Höhe \(\sin\alpha\) als blaue Strecke einzeichnen
- Höhe waagerecht bis zur Gitterlinie bei \(\alpha\) übertragen
- Dort ein Kreuz setzen
Starte die Animation oder gehe Punkt für Punkt vor.
Mit dem Regler kannst du \(P\) jederzeit selbst bewegen. Die Animation hält dabei an.
Achtung ab 180°
Ab 180° liegt \(P\) unterhalb der \(x\)-Achse. Dann ist \(\sin\alpha\) negativ, und das Kreuz liegt unter der \(\alpha\)-Achse. Über 90° hinaus gibt es kein rechtwinkliges Dreieck mit \(\alpha\) als Innenwinkel mehr – deshalb definiert man: \(\sin\alpha\) ist die \(y\)-Koordinate von \(P\), auch wenn sie negativ ist.
Aufgabe 4: Jetzt zeichnest du
Links ist \(P\) für einen Winkel eingezeichnet. Tippe im Koordinatensystem rechts auf die Stelle, an die das Kreuz gehört: auf die Gitterlinie bei \(\alpha\) und in der Höhe von \(P\). Es geht in 30°-Schritten von 0° bis 360°.
Aufgabe 5: Beschreibe deinen Graphen
Wähle eine Teilaufgabe. Überlege zuerst, dann zeigt dir die Markierung im Graphen die Antwort.
a) Was ist der größte und der kleinste Wert? Bei welchem Winkel?
b) Bei welchen Winkeln ist \(\sin\alpha = 0\)?
c) Für welche Winkel ist \(\sin\alpha\) negativ?
d) Wie geht der Graph nach 360° weiter? Begründe.
Merke: Die Sinusfunktion
Ordnet man jedem Winkel die Höhe des Punktes \(P\) am Einheitskreis zu, erhält man die Sinusfunktion. Für den Winkel schreibt man ab jetzt meist \(x\):
\[ f(x) = \sin x \]
Ihr Graph ist eine glatte Welle ohne Ecken: Sie startet bei 0, steigt bis 1, fällt bis −1 und kommt bei 360° wieder bei 0 an.
Eigenschaften der Sinusfunktion
Der Graph von \(f(x) = \sin x\) geht nach links und rechts immer weiter. Markiert sind: ○ Nullstellen, ● Hochpunkte, ● Tiefpunkte, - - - Begrenzungslinien.
Aufgabe 1: Definitions- und Wertebereich
a) Welche Werte darf man für \(x\) einsetzen? Tipp: Man kann beliebig weit drehen.
b) Welche Werte nimmt \(\sin x\) an? Tipp: Nutze die gestrichelten Linien.
c) Begründe am Einheitskreis, warum \(\sin x\) nie größer als 1 und nie kleiner als −1 wird.
Aufgaben 2 und 3: Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte
2a) Schreibe alle markierten Nullstellen der Größe nach als Liste auf. 3a) Schreibe die markierten Maximal- und Minimalstellen auf und gib den größten bzw. kleinsten Wert an.
2b) und 3b) Eine Formel für unendlich viele Stellen
Es gibt unendlich viele solcher Stellen. Eine Formel liefert alle: Man startet bei einer Stelle und geht immer den gleichen Abstand nach rechts und links. \(k\) gibt an, wie viele Schritte man geht: \(k = \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\) (negativ = nach links). Man schreibt kurz \(k \in \mathbb{Z}\).
Wähle aus, welche Stellen du suchst – sie erscheinen im Graphen. Baue dann die Formel: Jede Stelle, die deine Formel liefert, bekommt einen lila Ring. Liefert sie eine falsche Stelle, erscheint dort ein rotes Kreuz.
2c) und 3c) Mit der Formel prüfen
Monotonie, Amplitude und Periode
Aufgabe 4: Monotonie
Steigt der Graph von links nach rechts, nennt man die Funktion dort monoton steigend. Fällt er, heißt sie monoton fallend. Lass einen Punkt über den Graphen wandern und beobachte.
b) Ergänze die Tabelle.
| Intervall | [−90°; 90°] | [90°; °] | [°; °] | [°; °] |
|---|---|---|---|---|
| Monotonie |
Aufgabe 5: Amplitude und Periode
Im Graphen sind zwei Längen markiert: die Amplitude \(a\) und die Periode \(p\).
Abstand von der \(x\)-Achse (Mittellinie) bis zum Hochpunkt
Länge, nach der sich der Graph wiederholt
Eine Periode muss nicht bei 0° beginnen. Verschiebe den Anfang der lila markierten Periode (auf dem Arbeitsblatt: ab 90°).
c) Begründe am Einheitskreis, warum sich der Graph nach 360° wiederholt.
d) Nutze die Periode.
Steckbrief der Sinusfunktion \(f(x) = \sin x\)
Fasse alles zusammen.
Bei allen Formeln gilt \(k \in \mathbb{Z}\).
Wie geht es weiter?
Die Sinusfunktion lässt sich strecken, stauchen und verschieben. Wie das geht und was die Parameter \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) in \(f(x) = a \cdot \sin\left(b \cdot (x + c)\right) + d\) bewirken, erfährst du auf der nächsten Seite.