∿
y = a·sin(b·(x+c))+d
π

Die Sinusfunktion und ihre Parameter

Entdecke die faszinierende Welt der Sinusfunktion. Experimentiere mit Parametern, verstehe ihre Bedeutung und lerne, wie sie die Form und Lage der Kurve beeinflussen.

Interaktives GeoGebra-Applet

Verwende die Schieberegler, um die Parameter der allgemeinen Sinusfunktion \(f(x) = a \cdot \sin(b \cdot (x + c)) + d\) anzupassen und ihre Auswirkungen zu beobachten.

Interaktive Übungsaufgaben

In diesen Übungen sollst du die Parameter einer Sinusfunktion im GeoGebra-Applet so anpassen, dass sie die vorgegebenen Eigenschaften besitzt. Arbeite mit den Schiebereglern, bis deine Funktion die geforderte Form hat.

Übung 1: Grundform der Sinusfunktion

Stelle im GeoGebra-Applet eine Sinusfunktion mit folgenden Eigenschaften ein:

  • Amplitude: 1
  • Periodenlänge: 2π
  • Keine horizontale Verschiebung
  • Keine vertikale Verschiebung

Dies entspricht der Grundform \(f(x) = \sin(x)\)

Übung 2: Amplitude anpassen

Stelle eine Sinusfunktion mit folgenden Eigenschaften ein:

  • Amplitude: 2
  • Periodenlänge: 2π
  • Keine horizontale Verschiebung
  • Keine vertikale Verschiebung

Dies entspricht der Form \(f(x) = 2\sin(x)\)

Übung 3: Frequenz anpassen

Stelle eine Sinusfunktion mit folgenden Eigenschaften ein:

  • Amplitude: 1
  • Periodenlänge: π (entspricht b = 2)
  • Keine horizontale Verschiebung
  • Keine vertikale Verschiebung

Dies entspricht der Form \(f(x) = \sin(2x)\)

Übung 4: Horizontale Verschiebung

Stelle eine Sinusfunktion mit folgenden Eigenschaften ein:

  • Amplitude: 1
  • Periodenlänge: 2π
  • Horizontale Verschiebung: π/2 nach links
  • Keine vertikale Verschiebung

Dies entspricht der Form \(f(x) = \sin(x + \frac{\pi}{2})\)

Übung 5: Kombination aller Parameter

Stelle eine Sinusfunktion mit folgenden Eigenschaften ein:

  • Amplitude: 3
  • Periodenlänge: π (entspricht b = 2)
  • Horizontale Verschiebung: π/4 nach links
  • Vertikale Verschiebung: 1 nach oben

Dies entspricht der Form \(f(x) = 3\sin(2(x + \frac{\pi}{4})) + 1\)

Die allgemeine Sinusfunktion

Die allgemeine Form der Sinusfunktion lautet:

\[ f(x) = a \cdot \sin(b \cdot (x + c)) + d \]

Jeder Parameter beeinflusst die Kurve auf eine bestimmte Weise:

  • a: Amplitude (Höhe der Welle)
  • b: Frequenz (Anzahl der Schwingungen)
  • c: Horizontale Verschiebung
  • d: Vertikale Verschiebung

Hinweis: Diese Form der Sinusfunktion ist besonders intuitiv, da der Parameter c direkt die horizontale Verschiebung in x-Richtung angibt. In manchen Quellen begegnet man auch der Form \(f(x) = a \cdot \sin(b \cdot x + \phi) + d\), wobei \(\phi = b \cdot c\) die Phasenverschiebung darstellt. Beide Darstellungen sind mathematisch äquivalent.

Die Bedeutung der Parameter

Parameter a: Amplitude

Die Amplitude bestimmt die maximale Auslenkung der Sinuskurve vom Mittelpunkt.

  • Für \(|a| > 1\): Die Kurve wird vertikal gestreckt
  • Für \(0 < |a| < 1\): Die Kurve wird vertikal gestaucht
  • Für \(a < 0\): Die Kurve wird an der x-Achse gespiegelt

Der Wertebereich der Funktion ist \([-|a|+d, |a|+d]\).

Parameter b: Frequenz

Der Parameter b bestimmt die Frequenz der Sinuswelle:

  • Für \(|b| > 1\): Die Kurve wird horizontal gestaucht, mehr Wellen pro Einheit
  • Für \(0 < |b| < 1\): Die Kurve wird horizontal gestreckt, weniger Wellen pro Einheit
  • Für \(b < 0\): Die Kurve wird horizontal gespiegelt

Die Periodenlänge der Funktion beträgt \(T = \frac{2\pi}{|b|}\).

Parameter c: Horizontale Verschiebung

Der Parameter c bewirkt eine direkte horizontale Verschiebung der Kurve:

  • Für \(c > 0\): Die Kurve wird um \(c\) Einheiten nach links verschoben
  • Für \(c < 0\): Die Kurve wird um \(|c|\) Einheiten nach rechts verschoben

Um die Phasenverschiebung im Graphen abzulesen, sucht man sich einen Punkt auf der Mittellinie, bei dem der Graph steigt. Bei der Grundfunktion \(f(x) = \sin(x)\) liegt dieser Punkt bei \(x = 0\). Bei der verschobenen Funktion ist dieser Punkt um \(c\) Einheiten verschoben.

Die Nullstellen verschieben sich entsprechend zu \(x = -c + \frac{k \cdot \pi}{b}\) mit \(k \in \mathbb{Z}\).

Parameter d: Vertikale Verschiebung

Der Parameter d verschiebt die gesamte Kurve entlang der y-Achse:

  • Für \(d > 0\): Die Kurve wird um d Einheiten nach oben verschoben
  • Für \(d < 0\): Die Kurve wird um |d| Einheiten nach unten verschoben

Die Mittellinie der Schwingung liegt bei y = d.

Beispiele und Anwendungen der Sinusfunktion

Anwendungen in der Physik

Pendelschwingung

Die Bewegung eines Pendels kann durch eine Sinusfunktion beschrieben werden:

\[ s(t) = A \cdot \sin(\omega \cdot (t + t_0)) \]

Hierbei ist:

  • \(A\): Die maximale Auslenkung (Amplitude)
  • \(\omega = 2\pi f\): Die Kreisfrequenz mit f als Frequenz
  • \(t_0\): Die Zeitverschiebung (abhängig von der Startposition)
Wechselstrom

In der Elektrotechnik wird Wechselstrom durch eine Sinusfunktion dargestellt:

\[ u(t) = U_{max} \cdot \sin(2\pi f \cdot (t + t_0)) \]

Dabei ist:

  • \(U_{max}\): Die Spannungsamplitude
  • \(f\): Die Frequenz (in Europa typischerweise 50 Hz)
  • \(t_0\): Die Zeitverschiebung (Phasenversatz)

Spezielle Sinusfunktionen

Beispiel 1: \(f(x) = 2 \sin(3x) = 2 \sin(3 \cdot (x + 0)) + 0\)

Diese Funktion hat folgende Eigenschaften:

  • Amplitude: \(a = 2\) (doppelt so hoch wie die Standardfunktion)
  • Frequenz: \(b = 3\) (dreimal so viele Schwingungen pro Einheit)
  • Periodenlänge: \(T = \frac{2\pi}{3}\)
  • Keine horizontale Verschiebung (\(c = 0\))
  • Keine vertikale Verschiebung (\(d = 0\))
Beispiel 2: \(f(x) = \sin(x + \frac{\pi}{2}) + 1 = \sin(1 \cdot (x + \frac{\pi}{2})) + 1\)

Diese Funktion hat folgende Eigenschaften:

  • Amplitude: \(a = 1\) (Standardamplitude)
  • Frequenz: \(b = 1\) (Standardfrequenz)
  • Horizontale Verschiebung: \(c = \frac{\pi}{2}\), verschiebt die Kurve um \(\frac{\pi}{2}\) nach links
  • Vertikale Verschiebung: \(d = 1\), verschiebt die Kurve um 1 Einheit nach oben
  • Diese Funktion entspricht einer Kosinusfunktion mit vertikaler Verschiebung: \(f(x) = \cos(x) + 1\)

Übungen zur Sinusfunktion

Übung 1: Parameter bestimmen

Bestimme die Parameter a, b, c und d für die folgende Funktion:

\[ f(x) = 3 \sin(2(x - \frac{\pi}{2})) + 2 \]

Wir vergleichen mit der Standardform \(f(x) = a \sin(b(x + c)) + d\).

Für \(f(x) = 3 \sin(2(x - \frac{\pi}{2})) + 2\) müssen wir zuerst die Klammer ausmultiplizieren:

\(f(x) = 3 \sin(2x - \pi) + 2\)

Dies können wir umformen zu \(f(x) = 3 \sin(2(x + (-\frac{\pi}{2}))) + 2\)

Daraus folgt:

  • Die Amplitude ist \(a = 3\).
  • Die Frequenz ist \(b = 2\).
  • Die horizontale Verschiebung ist \(c = -\frac{\pi}{2}\) (also eine Verschiebung um \(\frac{\pi}{2}\) nach rechts).
  • Die vertikale Verschiebung ist \(d = 2\).

Die Periodenlänge beträgt \(T = \frac{2\pi}{|b|} = \frac{2\pi}{2} = \pi\).

Die Funktion hat einen Wertebereich von \([d-|a|, d+|a|] = [2-3, 2+3] = [-1, 5]\).

Übung 2: Funktionsgleichung aufstellen

Stelle die Funktionsgleichung einer Sinusfunktion auf, die folgende Eigenschaften hat:

  • Amplitude: 4
  • Periodenlänge: \(2\pi/3\)
  • Die Funktion ist um \(\pi/6\) nach links verschoben
  • Die Mittellinie liegt bei y = -2

Wir verwenden die allgemeine Form \(f(x) = a \sin(b(x + c)) + d\) und setzen die gegebenen Werte ein:

  • Amplitude: \(a = 4\)
  • Periodenlänge: \(T = 2\pi/3\), daraus folgt \(b = 2\pi/T = 2\pi/(2\pi/3) = 3\)
  • Verschiebung nach links um \(\pi/6\) bedeutet \(c = \pi/6\)
  • Vertikale Verschiebung: \(d = -2\)

Damit ergibt sich die Funktionsgleichung:

\[ f(x) = 4 \sin(3(x + \pi/6)) - 2 \]

Übung 3: Nullstellen berechnen

Berechne die Nullstellen der Funktion \(f(x) = 2\sin(3(x + \pi/12)) + 1\) im Intervall \([0, 2\pi]\).

Um die Nullstellen zu finden, setzen wir \(f(x) = 0\):

\(2\sin(3(x + \pi/12)) + 1 = 0\)

\(\sin(3(x + \pi/12)) = -1/2\)

Das bedeutet \(3(x + \pi/12) = -\pi/6 + k\pi\) oder \(3(x + \pi/12) = -5\pi/6 + k\pi\) mit \(k \in \mathbb{Z}\).

Lösen wir nach x auf:

Für den ersten Fall: \(x = -\pi/12 + (-\pi/6)/3 + k\pi/3 = -\pi/12 - \pi/18 + k\pi/3 = -(6\pi + 2\pi)/36 + k\pi/3 = -8\pi/36 + k\pi/3\)

Für den zweiten Fall: \(x = -\pi/12 + (-5\pi/6)/3 + k\pi/3 = -\pi/12 - 5\pi/18 + k\pi/3 = -(6\pi + 10\pi)/36 + k\pi/3 = -16\pi/36 + k\pi/3\)

Im Intervall \([0, 2\pi]\) erhalten wir die Nullstellen:

  • \(x_1 \approx 0.175\) (für \(k = 1\) im ersten Fall)
  • \(x_2 \approx 1.222\) (für \(k = 2\) im ersten Fall)
  • \(x_3 \approx 2.269\) (für \(k = 3\) im ersten Fall)
  • \(x_4 \approx 3.316\) (für \(k = 4\) im ersten Fall)
  • \(x_5 \approx 4.363\) (für \(k = 5\) im ersten Fall)
  • \(x_6 \approx 5.410\) (für \(k = 6\) im ersten Fall)
  • \(x_7 \approx 0.698\) (für \(k = 2\) im zweiten Fall)
  • \(x_8 \approx 1.745\) (für \(k = 3\) im zweiten Fall)
  • \(x_9 \approx 2.793\) (für \(k = 4\) im zweiten Fall)
  • \(x_{10} \approx 3.840\) (für \(k = 5\) im zweiten Fall)
  • \(x_{11} \approx 4.887\) (für \(k = 6\) im zweiten Fall)
  • \(x_{12} \approx 5.934\) (für \(k = 7\) im zweiten Fall)