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V = G·h
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Volumen von Prismen - Herleitung und Anwendung

Entdecke die Herleitung der Volumenformel für Prismen und lerne, wie man verschiedene Prismentypen berechnet.

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Herleitung der Volumenformel für Prismen

Die Volumenformel für Prismen wird schrittweise hergeleitet, beginnend mit einem Quader, über ein dreiseitiges Prisma bis hin zum beliebigen Prisma.

1. Formel für das Volumen eines Quaders

Die vermutete Formel für ein Prisma lautet \(V_P = A_G \cdot h\)

(Grundfläche mal Höhe).

Kann die vermutete Formel für den Quader angewendet werden?

Ja, bei einem Quader ist die Grundfläche \(A_G = a \cdot b\) und die Höhe ist \(h = c\).

Daher gilt: \(V_{\text{Quader}} = a \cdot b \cdot c = A_G \cdot h\)

Die Formel \(V_P = A_G \cdot h\) kann also für den Quader angewendet werden.

2. Formel für das Volumen eines dreiseitigen Prismas

Wird ein Quader durch eine Diagonale halbiert, erhält man zwei dreiseitige Prismen (Spezialfall).

Das Volumen dieses Prismas ist genau wie das des Quaders.

halb so groß (die Hälfte)

Aus diesem Grund hat es die Volumenformel:

\(V_P = A_G \cdot h\)

Kann die vermutete Formel \(V_P = A_G \cdot h\) für dieses Prisma angewendet werden?

Ja, die Formel kann angewendet werden.

Bei einem Quader mit Volumen \(V_{\text{Quader}} = a \cdot b \cdot c\) erhalten wir durch Halbierung zwei dreiseitige Prismen, die jeweils das Volumen \(V_{\text{Dreiseitig}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot c\) haben.

Da die Grundfläche eines solchen dreiseitigen Prismas ein Dreieck mit dem Flächeninhalt \(A_G = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\) ist und die Höhe \(h = c\) beträgt, gilt:

\(V_{\text{Dreiseitig}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot c = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot c = A_G \cdot h\)

Die Formel \(V_P = A_G \cdot h\) gilt also auch für das dreiseitige Prisma.

3. Formel für das Volumen eines beliebigen Prismas

Ein beliebiges Prisma habe die Grundfläche \(A_G\). In der vorangegangenen Stunde haben wir gezeigt, dass sich Vielecke in zerlegen lassen.

Dreiecke

Entsprechend lässt sich jedes Prisma in zerlegen.

dreiseitige Prismen

Für diese Prismen dürfen wir die Formel \(V_P = A_G \cdot h\) (Grundfläche mal Höhe) anwenden. Wir können deshalb für das Volumen des gesamten Prismas schreiben:

\(V_P = \)

\(A_1 \cdot h + A_2 \cdot h + A_3 \cdot h + ... + A_n \cdot h\)

\(= \)

\(h \cdot (A_1 + A_2 + A_3 + ... + A_n)\)

Die Summe in der Klammer entspricht nun aber genau .

\(A_G\) (der gesamten Grundfläche)

Somit ergibt sich für das abgebildete Prisma die Formel:

\(V_P = A_G \cdot h\)

Visualisierung der Zerlegung eines Prismas

Wir beginnen mit einem Prisma mit vieleckiger Grundfläche. Das Volumen des Prismas berechnen wir, indem wir die Grundfläche in Dreiecke zerlegen.

Übungen und Aufgaben zu Prismen

In diesem Abschnitt kannst du dein Wissen über Prismen, ihre Volumina und Grundflächen testen und vertiefen.

Übung 1: Volumen verschiedener Prismen berechnen

Berechne das Volumen der folgenden Prismen mit der Höhe h = 14,1 cm.

4,0 cm a)

a) Regelmäßiges Achteck mit Seitenlänge 4,0 cm

Für ein regelmäßiges Achteck mit Seitenlänge a = 4,0 cm:

Die Fläche berechnet sich mit \(A = 2 \cdot a^2 \cdot (1 + \sqrt{2})\)

\(A = 2 \cdot 4,0^2 \cdot (1 + \sqrt{2}) \approx 77,25 \text{ cm}^2\)

Das Volumen des Prismas ist dann:

\(V = A \cdot h = 77,25 \text{ cm}^2 \cdot 14,1 \text{ cm} = 1089,23 \text{ cm}^3\)

7,2 cm b)

b) Quadrat mit Seitenlänge 7,2 cm

Für ein Quadrat mit Seitenlänge a = 7,2 cm:

Die Fläche berechnet sich mit \(A = a^2\)

\(A = 7,2^2 = 51,84 \text{ cm}^2\)

Das Volumen des Prismas ist dann:

\(V = A \cdot h = 51,84 \text{ cm}^2 \cdot 14,1 \text{ cm} = 730,94 \text{ cm}^3\)

7,5 cm 8,5 cm c)

c) Dreieck mit Grundseite 8,5 cm und Höhe 7,5 cm

Für ein Dreieck mit Grundseite b = 8,5 cm und Höhe h_D = 7,5 cm:

Die Fläche berechnet sich mit \(A = \frac{b \cdot h_D}{2}\)

\(A = \frac{8,5 \cdot 7,5}{2} = 31,88 \text{ cm}^2\)

Das Volumen des Prismas ist dann:

\(V = A \cdot h = 31,88 \text{ cm}^2 \cdot 14,1 \text{ cm} = 449,45 \text{ cm}^3\)

Übung 2: Grundflächen berechnen

Bei den folgenden Prismen ist das Volumen und die Höhe gegeben. Berechne die Fläche der Grundfläche.

Prisma Volumen Höhe Grundfläche
Quader 420 cm³ 10 cm
cm²
Dreieckiges Prisma 282 cm³ 12 cm
cm²
Sechseckiges Prisma 840 cm³ 8 cm
cm²

Übung 3: Anwendungsaufgaben

Löse diese anwendungsbezogenen Aufgaben zur Berechnung von Prismen.

Aufgabe 1: Wasserturm

Ein zylindrischer Wasserturm (Kreiszylinder ist ein Spezialfall eines Prismas) hat einen Innendurchmesser von 8 m und ist 15 m hoch. Wie viel Liter Wasser kann der Tank maximal fassen?

Gegeben:

  • Durchmesser des Zylinders: d = 8 m
  • Höhe des Zylinders: h = 15 m

Berechnung des Volumens:

Bei einem Zylinder ist die Grundfläche ein Kreis mit dem Radius r = d/2 = 8/2 = 4 m

Die Grundfläche beträgt: \(A_G = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi \approx 50,27 \text{ m}^2\)

Das Volumen beträgt: \(V = A_G \cdot h = 50,27 \text{ m}^2 \cdot 15 \text{ m} = 754,05 \text{ m}^3\)

1 m³ entspricht 1000 Litern, also:

Wasserkapazität = 754,05 · 1000 = 754.050 Liter

Ergebnis:

Der Wasserturm kann maximal 754.050 Liter Wasser fassen.

Aufgabe 2: Holzbalken

Ein Holzbalken hat die Form eines sechseckigen Prismas mit einer Seitenlänge von 5 cm und einer Höhe von 2,5 m. Wie groß ist sein Volumen in Kubikzentimetern?

Anwendungen von Prismen im Alltag

Hier sind einige Beispiele für Prismen in unserem Alltag.

Prisma Beispiel Typische Form Anwendungsbereich
Quader Schuhkarton, Ziegelstein Rechteckige Grundfläche Verpackungen, Baumaterial
Dreieckiges Prisma Toblerone-Verpackung, Dachsparren Dreieckige Grundfläche Lebensmittelverpackungen, Dachkonstruktionen
Fünfeckiges Prisma Bleistifte Fünfeckige Grundfläche Schreibwaren
Sechseckiges Prisma Schraubenmuttern, Bleistifte Sechseckige Grundfläche Befestigungselemente, Schreibwaren
Zylinder Konservendosen, Wasserleitungen Kreisförmige Grundfläche Behälter, Rohre