Pyramide - Oberfläche und Volumen

Gegeben:

• Seitenlänge der Grundfläche: a = 230 m
• Höhe der Pyramide: h = 147 m

Berechnung des Volumens:

V = \(\frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 230^2 \cdot 147\)

V = \(\frac{1}{3} \cdot 52900 \cdot 147 = \frac{1}{3} \cdot 7776300\)

V = 2.592.100 m³

Berechnung der Oberfläche:

Zuerst müssen wir die Höhe der Seitenflächen (Seitenkante) berechnen:

s = \(\sqrt{h^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{147^2 + \left(\frac{230\sqrt{2}}{2}\right)^2}\)

s = \(\sqrt{21609 + \frac{52900 \cdot 2}{4}} = \sqrt{21609 + 26450} = \sqrt{48059}\)

s ≈ 219,2 m

Die Höhe jeder dreieckigen Seitenfläche beträgt:

h_s = \(\sqrt{s^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{219,2^2 - 115^2} = \sqrt{48048,64 - 13225} = \sqrt{34823,64}\)

h_s ≈ 186,6 m

Berechnung der Grundfläche:

G = a² = 230² = 52.900 m²

Berechnung der Fläche einer Seitenfläche:

S_1 = \(\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_s = \frac{1}{2} \cdot 230 \cdot 186,6 = 21.459 \text{ m}^2\)

Gesamtoberfläche:

O = G + 4 · S_1 = 52.900 + 4 · 21.459 = 52.900 + 85.836 = 138.736 \text{ m}^2

Ergebnis:

Das Volumen der Cheops-Pyramide beträgt etwa 2.592.100 m³.

Die Oberfläche der Cheops-Pyramide beträgt etwa 138.736 m².

Gegeben:

• Seitenlänge der Grundfläche: a = 20 cm
• Höhe der Pyramide: h = 15 cm
• Die Pyramide hat keine Grundfläche (nur Seitenflächen)

Wir müssen die Fläche der vier dreieckigen Seitenflächen berechnen.

Zuerst berechnen wir die Höhe einer Seitenfläche (vom Mittelpunkt einer Grundkante zur Spitze):

h_s = \(\sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{15^2 + 10^2} = \sqrt{225 + 100} = \sqrt{325} \approx 18,03 \text{ cm}\)

Die Fläche einer Seitenfläche beträgt:

S_1 = \(\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_s = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 18,03 = 180,3 \text{ cm}^2\)

Da es vier identische Seitenflächen gibt, beträgt die Gesamtfläche:

S_{\text{gesamt}} = 4 \cdot S_1 = 4 \cdot 180,3 = 721,2 \text{ cm}^2

Ergebnis:

Für das Pyramidenmodell werden etwa 721,2 cm² Karton benötigt.

Gegeben:

• Fläche der dreieckigen Grundfläche: G = 24 cm²
• Höhe beider Körper: h = 10 cm

Berechnung des Volumens des Prismas:

V_{\text{Prisma}} = G \cdot h = 24 \text{ cm}^2 \cdot 10 \text{ cm} = 240 \text{ cm}^3

Berechnung des Volumens der Pyramide:

V_{\text{Pyramide}} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 24 \text{ cm}^2 \cdot 10 \text{ cm} = \frac{1}{3} \cdot 240 \text{ cm}^3

V_{\text{Pyramide}} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 24 \text{ cm}^2 \cdot 10 \text{ cm} = \frac{1}{3} \cdot 240 \text{ cm}^3 = 80 \text{ cm}^3

Zusammenhang mit dem Satz von Cavalieri:

Laut dem Satz von Cavalieri haben zwei Körper mit gleicher Höhe und gleichen parallelen Schnittflächen zur Grundfläche in jeder Höhe das gleiche Volumen.

Ein Prisma und eine Pyramide mit derselben Grundfläche haben aber unterschiedliche Schnittflächen auf jeder Höhe. Bei einer Höhe y (von 0 bis h) hat die Schnittfläche des Prismas immer die gleiche Größe G, während die Schnittfläche der Pyramide nur den Bruchteil \(\frac{(h-y)^2}{h^2} \cdot G\) beträgt.

Es lässt sich mathematisch beweisen, dass das Volumen der Pyramide immer genau ein Drittel des Volumens des entsprechenden Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe ist:

V_{\text{Pyramide}} = \frac{1}{3} \cdot V_{\text{Prisma}}

Dies bestätigt sich in unserer Berechnung: \(80 \text{ cm}^3 = \frac{1}{3} \cdot 240 \text{ cm}^3\)

Ergebnis:

Das Volumen des Prismas beträgt 240 cm³.

Das Volumen der Pyramide beträgt 80 cm³.

Das Verhältnis der Volumina ist \(V_{\text{Pyramide}} : V_{\text{Prisma}} = 1 : 3\).