Lagebeziehung zweier Ebenen
Schneiden, parallel oder identisch – die Normalenvektoren verraten es
Die Frage
Gegeben sind zwei Ebenen in Koordinatenform:
\[E_1: \vec n_1 \cdot \vec x = d_1, \qquad E_2: \vec n_2 \cdot \vec x = d_2\]Welche Punkte haben sie gemeinsam? Es gibt genau drei Antworten:
- eine ganze Gerade – die Ebenen schneiden sich in der Schnittgeraden \(g\),
- keinen – die Ebenen sind echt parallel,
- alle – die Ebenen sind identisch.
Einen einzelnen Schnittpunkt gibt es nicht: Haben zwei verschiedene Ebenen einen Punkt gemeinsam, dann gleich eine ganze Gerade durch ihn. Und welcher Fall vorliegt, entscheidet zuerst die Stellung der Ebenen – also ihre Normalenvektoren.
Die drei Lagen im Bild
\(E_1: x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 5\) kennen Sie schon von den Seiten davor. Dazu kommt je eine zweite Ebene. Drehen Sie das Bild mit Maus oder Finger. Der Knopf „An den Ebenen entlang“ dreht so, dass beide Ebenen zu Linien werden – dann sieht man die Lage am deutlichsten. Die Normalenvektoren sind auf halbe Länge verkürzt gezeichnet.
Der Schlüssel: die Normalenvektoren
Die Stellung einer Ebene im Raum steckt ganz in ihrem Normalenvektor. Zwei Ebenen sind deshalb genau dann parallel (oder identisch), wenn ihre Normalenvektoren Vielfache voneinander sind:
\[E_1 \parallel E_2 \quad\Longleftrightarrow\quad \vec n_2 = k \cdot \vec n_1 \;\text{ für ein } k \ne 0\]Probieren Sie es aus: \(E_1\) bleibt liegen, \(E_2\) dreht sich um die graue Achse. Mit \(\alpha\) kippen Sie \(E_2\), mit \(h\) verschieben Sie die Achse von \(E_1\) weg. Achten Sie darauf, was mit der Schnittgeraden passiert, wenn \(\alpha\) gegen \(0^\circ\) geht.
Was der Versuch zeigt
- Jeder noch so kleine Winkel zwischen \(\vec n_1\) und \(\vec n_2\) erzwingt eine Schnittgerade. Beim Zurückkippen wandert sie nur immer weiter weg – erst bei \(\alpha = 0^\circ\) ist sie ganz verschwunden.
- Bei \(\alpha = 0^\circ\) sind die Normalenvektoren Vielfache. Ob die Ebenen dann echt parallel oder identisch sind, entscheidet allein der Abstand – rechnerisch eine Punktprobe.
- Der Winkel zwischen den Ebenen ist der Winkel zwischen ihren Normalenvektoren (der spitze, falls er über \(90^\circ\) liegt). Mit „Entlang der Achse“ sehen Sie beide Winkel nebeneinander.
Die Richtung der Schnittgeraden: \(\vec n_1 \times \vec n_2\)
Schneiden sich die Ebenen, kann man die Richtung der Schnittgeraden sofort angeben – ohne einen einzigen Punkt zu kennen. Blättern Sie mit Weiter und Zurück.
Die Schnittgerade berechnen
So geht man vor
Ist \(\vec n_2 = k \cdot \vec n_1\)? Wenn ja: Punktprobe (Schema unten). Wenn nein: Die Ebenen schneiden sich – weiter mit 2.
Gern kürzen – nur die Richtung zählt.
Eine Koordinate \(0\) setzen (meist \(x_3 = 0\)) und das Gleichungssystem mit zwei Gleichungen, zwei Unbekannten lösen.
Probe: \(A\) in beide Gleichungen einsetzen.
Das Beispiel Schritt für Schritt
Zwei andere Wege zur selben Geraden
Statt \(x_3 = 0\) setzt man \(x_3 = t\) und löst nach \(x_1\), \(x_2\) auf:
\[\begin{array}{rcrcrcl} x_1 & + & 2x_2 & + & 2t & = & 5 \\ x_1 & - & x_2 & + & 2t & = & 2 \end{array}\]Subtrahieren: \(3x_2 = 3\), also \(x_2 = 1\) und \(x_1 = 3 - 2t\). Damit
\[\vec x = \begin{pmatrix} 3 - 2t \\ 1 \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]Dieselbe Gerade – der Richtungsvektor ist \((-1) \cdot \vec w\). Dieser Weg braucht kein Vektorprodukt.
Liegt \(E_1\) als \(\vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) vor, setzt man die Zeilen in \(E_2: x_1 - x_2 + 2x_3 = 2\) ein:
\[\begin{aligned} (1 + 2r) - (1 - r + s) + 2(1 - s) &= 2 \\ 2 + 3r - 3s &= 2 \\ r &= s \end{aligned}\]\(r = s\) zurück in \(E_1\):
\[\begin{aligned} \vec x &= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \left[\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\right] \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}\]Wieder dieselbe Gerade, diesmal durch \(P(1 \,|\, 1 \,|\, 1)\). Bleibt beim Einsetzen eine falsche Aussage wie \(2 = 7\) übrig, sind die Ebenen echt parallel; bei einer wahren wie \(2 = 2\) identisch.
Das Schema
Ein Klick auf ein Ergebnis zeigt das passende Beispiel oben im ersten Bild.
Stolpersteine
- Auch negative Vielfache zählen. \(\vec n_2 = -\vec n_1\) heißt parallel – die Pfeile zeigen nur zu verschiedenen Seiten derselben Stellung.
- Vielfache prüft man in allen drei Zeilen. Ein \(k\), das nur in zwei Zeilen passt, reicht nicht.
- Gleiche linke Seite heißt noch nicht identisch. Erst \(d_2 = k \cdot d_1\) (oder die Punktprobe) entscheidet zwischen identisch und echt parallel.
- \(x_3 = 0\) klappt nicht immer. Ist \(w_3 = 0\), läuft \(g\) parallel zur \(x_1x_2\)-Ebene und trifft sie nicht – das Gleichungssystem wird unlösbar. Dann eine andere Koordinate \(0\) setzen. Und manchmal liefert eine andere Wahl einfach glattere Zahlen.
Übungen
Aufgabe 1 – parallel?
Untersuchen Sie die Lage von \(E_1: 2x_1 - x_2 + x_3 = 3\) und \(E_2: -4x_1 + 2x_2 - 2x_3 = -6\).
Aufgabe 2 – Schnittgerade
Bestimmen Sie die Schnittgerade von \(E_1: x_1 + x_2 + x_3 = 3\) und \(E_2: x_1 - x_2 + 2x_3 = 4\).
Aufgabe 3 – Lage bestimmen
\(E_1: 3x_1 - 6x_2 + 3x_3 = 9\), \(\quad E_2: -x_1 + 2x_2 - x_3 = 1\). Wie liegen die Ebenen zueinander?
Aufgabe 4 – Parameterform trifft Koordinatenform
\(E_1: \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(\quad E_2: x_1 + x_3 = 3\). Bestimmen Sie die Schnittgerade durch Einsetzen.
Aufgabe 5 – mit Parameter
\(E_a: a\,x_1 + 2x_2 - 4x_3 = 6\) und \(F: x_1 - x_2 + 2x_3 = 3\).
(a) Für welches \(a\) sind die Ebenen parallel? Sind sie dann echt parallel oder identisch?
(b) Für welches \(a\) stehen sie senkrecht aufeinander?
Aufgabe 6 – rückwärts denken
(a) Geben Sie eine Ebene \(F\) an, die \(E: x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 5\) in der Geraden
\(g: \vec x = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) schneidet.
(b) Begründen Sie mit den Normalenvektoren, warum zwei Ebenen nie genau einen Punkt gemeinsam haben.
Zum Merken
- Normalenvektoren vergleichen. \(\vec n_2 = k \cdot \vec n_1\) → parallel oder identisch; sonst schneiden sich die Ebenen.
- Bei Vielfachen: Punktprobe (oder \(d_2 = k \cdot d_1\)?) → identisch oder echt parallel.
- Beim Schneiden: Richtung \(\vec w = \vec n_1 \times \vec n_2\), Punkt über \(x_3 = 0\), dann \(g: \vec x = \vec a + t \cdot \vec w\).