Schnittwinkel von Gerade und Ebene
Wo der Winkel steckt, warum der Normalenvektor hilft – und warum aus cos ein sin wird
Die Frage
Auf der ganzen Seite rechnen wir mit dieser Geraden und dieser Ebene:
\[g: \vec x = \underbrace{\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}}_{A} + t \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}}_{\vec w}\] \[E: \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\vec u} + s \cdot \underbrace{\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\vec v}\]bzw. in Koordinatenform:
\[E: 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 4, \quad \vec n = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\]| Name | Bedeutung |
|---|---|
| \(A(3 \,|\, 2 \,|\, 3)\) | Stützpunkt von \(g\) |
| \(\vec w\) | Richtungsvektor von \(g\) – gibt an, in welche Richtung \(g\) läuft |
| \(\vec u\), \(\vec v\) | Spannvektoren von \(E\) – zwei Richtungen, die in der Ebene liegen |
| \(\vec n\) | Normalenvektor von \(E\) – steht senkrecht auf der Ebene; aus der Koordinatenform abgelesen (oder \(\vec n = \vec u \times \vec v\)) |
Wie auf der Seite Lagebeziehung von Gerade und Ebene setzen wir \(g\) in \(E\) ein: \(2(3 + t) - 2 + 2(3 + 2t) = 4\), also \(10 + 6t = 4\) und \(t = -1\). \(g\) schneidet \(E\) im Punkt \(S(2 \,|\, 2 \,|\, 1)\).
Jetzt wollen wir wissen: Wie steil stößt \(g\) durch \(E\)? Gesucht ist der Schnittwinkel \(\alpha\). Bei zwei Geraden ist klar, zwischen welchen Linien der Winkel liegt. Aber eine Ebene ist keine Linie – wo genau soll man den Winkel messen?
Wo liegt der Winkel?
In der Ebene liegen unendlich viele Geraden \(h\) durch \(S\). Jede bildet mit \(g\) einen Winkel – aber jede einen anderen. Drehen Sie \(h\) mit dem Regler in der Ebene herum oder lassen Sie sie automatisch kreisen. Achten Sie auf den Winkel: Wo wird er am kleinsten?
Im Schrägbild wirkt der Winkelbogen oft verzerrt, weil man schräg auf ihn blickt. Mit „Auf den Winkel schauen“ blickt die Kamera senkrecht auf die Fläche, in der \(g\) und \(h\) liegen – und folgt ihr, während sich \(h\) dreht. Dann sehen Sie den Winkel in seiner wahren Größe.
Der Schnittwinkel
Der Schnittwinkel \(\alpha\) von \(g\) und \(E\) ist der kleinste Winkel, den \(g\) mit einer Geraden der Ebene bilden kann. Man findet ihn zwischen \(g\) und ihrem Schatten \(g'\), wenn das Licht senkrecht auf die Ebene fällt (Knopf „Schatten zeigen“).
Er liegt immer zwischen \(0^\circ\) und \(90^\circ\): \(\alpha = 0^\circ\) heißt „\(g\) läuft flach an \(E\) entlang“, \(\alpha = 90^\circ\) heißt „\(g\) steht senkrecht auf \(E\)“.
Warum ist das schwierig?
Den Winkel zwischen zwei Geraden berechnen wir mit dem Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren (siehe Skalar- und Vektorprodukt). Für \(g\) mit dem Richtungsvektor \(\vec w\) und eine Gerade \(h\) in \(E\) mit dem Richtungsvektor \(\vec d\) heißt das:
\[\cos\varphi = \frac{|\vec w \cdot \vec d|}{|\vec w| \cdot |\vec d|}\]Nur: Welchen Richtungsvektor \(\vec d\) aus der Ebene sollen wir nehmen? Naheliegend sind die Spannvektoren \(\vec u\) und \(\vec v\) – sie stehen ja schon in der Ebenengleichung. Blättern Sie mit Weiter und Zurück durch diese Versuche.
Die Idee: den Normalenvektor benutzen
Statt in der Ebene nach der richtigen Richtung zu suchen, nehmen wir die eine Richtung, die die Ebene eindeutig festlegt: den Normalenvektor \(\vec n\). Den Winkel zwischen \(g\) und \(\vec n\) können wir sofort ausrechnen – und daraus folgt \(\alpha\).
Von der cos-Formel zur sin-Formel
Wir könnten jedes Mal erst \(\beta\) ausrechnen und dann \(90^\circ - \beta\) bilden. Schöner ist eine Formel, die \(\alpha\) direkt liefert. Dazu legen wir das Winkeldreieck flach auf das Papier. Mit dem Regler verändern Sie die Steigung von \(g\).
Die Formel
Schneidet die Gerade \(g: \vec x = \vec a + t \cdot \vec w\) die Ebene \(E\) mit Normalenvektor \(\vec n\), so gilt für den Schnittwinkel \(\alpha\):
\[\sin\alpha = \frac{|\vec n \cdot \vec w|}{|\vec n| \cdot |\vec w|}, \qquad 0^\circ \le \alpha \le 90^\circ\]\(\vec n\) liest man aus der Koordinatenform ab, \(\vec w\) aus der Geradengleichung. Liegt die Ebene in Parameterform vor, bestimmt man zuerst \(\vec n = \vec u \times \vec v\).
Unser Beispiel im Heft
\(\vec n\) aus \(2x_1 - x_2 + 2x_3 = 4\), \(\vec w\) aus \(g\).
Taschenrechner (Modus DEG): \(\sin^{-1}(0{,}894)\), also \(\alpha \approx 63{,}4^\circ\) – genau der kleinste Winkel aus dem ersten Bild.
Gerade/Gerade und Gerade/Ebene im Vergleich
| zwei Geraden | Gerade und Ebene | |
|---|---|---|
| verglichen werden | die beiden Richtungsvektoren \(\vec w_1\), \(\vec w_2\) | Richtungsvektor \(\vec w\) und Normalenvektor \(\vec n\) |
| Formel | \(\cos\alpha = \dfrac{|\vec w_1 \cdot \vec w_2|}{|\vec w_1| \cdot |\vec w_2|}\) | \(\sin\alpha = \dfrac{|\vec n \cdot \vec w|}{|\vec n| \cdot |\vec w|}\) |
| warum so | Die Vektoren liegen auf den Geraden selbst. | \(\vec n\) steht um \(90^\circ\) „verdreht“ zur Ebene – aus \(\cos\) wird \(\sin\). |
| Sonderfall | Rechnung | Bedeutung |
|---|---|---|
| \(\vec n \cdot \vec w = 0\) | \(\sin\alpha = 0\), also \(\alpha = 0^\circ\) | \(\vec w \perp \vec n\): \(g\) ist parallel zu \(E\) oder liegt in \(E\) – es gibt keinen Schnittpunkt (siehe Lagebeziehung). |
| \(\vec w = k \cdot \vec n\) | \(\sin\alpha = 1\), also \(\alpha = 90^\circ\) | \(g\) steht senkrecht auf \(E\). |
Stolpersteine
- sin, nicht cos. Wer \(\cos\) nimmt, erhält \(\beta\), den Winkel zwischen \(g\) und \(\vec n\) (im Beispiel \(26{,}6^\circ\) statt \(63{,}4^\circ\)). Kontrolle: \(\alpha + \beta = 90^\circ\).
- Betrag nicht vergessen. Ohne Betrag kann \(\sin\alpha\) negativ werden – ein Schnittwinkel ist aber nie negativ.
- Normalenvektor, nicht Spannvektor. Mit \(\vec u\) oder \(\vec v\) der Ebene misst man den Winkel zu einer beliebigen Geraden in \(E\) – der ist meist zu groß.
- Taschenrechner auf DEG. Im Modus RAD kommt \(\alpha \approx 1{,}107\) heraus.
Übungen
Aufgabe 1 – Grundaufgabe
Berechnen Sie den Schnittwinkel von \(g: \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(E: x_1 - 2x_2 + 2x_3 = 3\).
Aufgabe 2 – Grundaufgabe
\(g: \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\), \(\quad E: x_1 + x_2 = 3\). Berechnen Sie den Schnittwinkel.
Aufgabe 3 – Ebene in Parameterform
\(E: \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) und eine Gerade \(g\) mit Richtungsvektor \(\vec w = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Bestimmen Sie zuerst einen Normalenvektor von \(E\), dann den Schnittwinkel.
Aufgabe 4 – Fehler finden
Lea rechnet für unser Beispiel (\(\vec n = (2 \,|\, {-1} \,|\, 2)\), \(\vec w = (1 \,|\, 0 \,|\, 2)\)): \(\cos\alpha = \frac{6}{3 \cdot \sqrt 5} \approx 0{,}894\), also \(\alpha \approx 26{,}6^\circ\). Welchen Winkel hat sie berechnet? Wie lautet das richtige Ergebnis?
Aufgabe 5 – Sonderfälle
Gegeben ist \(E: x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 5\). Berechnen Sie den Schnittwinkel mit
(a) \(g_a: \vec x = t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\), \(\quad\)
(b) \(g_b: \vec x = t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\).
Was bedeuten die Ergebnisse?
Aufgabe 6 – mit Parameter
\(E\) ist die \(x_1x_2\)-Ebene (\(x_3 = 0\)), \(g_a: \vec x = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ a \end{pmatrix}\). Für welche Werte von \(a\) schneidet \(g_a\) die Ebene unter \(60^\circ\)?
Zum Merken
- Der Schnittwinkel ist der Winkel zwischen \(g\) und ihrem Schatten \(g'\) in \(E\) – der kleinste mögliche, immer zwischen \(0^\circ\) und \(90^\circ\).
- Statt \(g'\) zu suchen, misst man den Winkel \(\beta\) zum Normalenvektor: \(\alpha + \beta = 90^\circ\).
- Wegen \(\cos\beta = \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha\) gilt direkt \(\sin\alpha = \dfrac{|\vec n \cdot \vec w|}{|\vec n| \cdot |\vec w|}\).