Lagebeziehung von Gerade und Ebene
Schneiden, parallel oder enthalten – zwei Rechenwege im Vergleich
Die Frage
Gegeben sind eine Gerade und eine Ebene:
\[g: \vec x = \vec a + t \cdot \vec w, \qquad E: \vec x = \vec p + r \cdot \vec u + s \cdot \vec v \quad\text{bzw.}\quad E: n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = d\]Wie bei zwei Geraden hängt alles an der Frage: Welche Punkte haben sie gemeinsam? Es gibt genau drei Antworten:
- genau einen – \(g\) schneidet \(E\) im Schnittpunkt (Durchstoßpunkt) \(S\),
- keinen – \(g\) ist echt parallel zu \(E\),
- unendlich viele – \(g\) liegt in \(E\).
Einen vierten Fall wie „windschief“ gibt es nicht: Eine Gerade, die nicht parallel zur Ebene verläuft, trifft sie irgendwann – die Ebene ist ja in alle Richtungen unendlich ausgedehnt.
Die drei Lagen im Bild
Auf der ganzen Seite rechnen wir mit derselben Ebene – Sie kennen sie von der Seite Normalen- und Koordinatenform:
\[E: \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \qquad\text{bzw.}\qquad E: x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 5\]und mit drei Geraden, je eine für jeden Fall:
| Fall | Gerade | Was sich ändert |
|---|---|---|
| schneidet | \(g_1: \vec x = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) | – |
| echt parallel | \(g_2: \vec x = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) | gleicher Stützpunkt wie \(g_1\), andere Richtung |
| liegt in \(E\) | \(g_3: \vec x = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\) | gleiche Richtung wie \(g_2\), anderer Stützpunkt |
Drehen Sie das Bild mit Maus oder Finger. Der Knopf „An der Ebene entlang“ dreht so, dass die Ebene zu einer Linie wird – dann sieht man am deutlichsten, ob die Gerade sie kreuzt, über ihr schwebt oder in ihr liegt.
Weg 1: Gleichsetzen mit der Parameterform
So geht man vor
Ein gemeinsamer Punkt liegt auf \(g\) und in \(E\):
\[\vec a + t \cdot \vec w = \vec p + r \cdot \vec u + s \cdot \vec v\]Zeilenweise aufschreiben: Das ergibt drei Gleichungen (I), (II), (III) mit den drei Unbekannten \(r\), \(s\) und \(t\).
Einsetzungsverfahren: Eine Gleichung nach einer Unbekannten auflösen und in die anderen einsetzen. Das wiederholt man, bis eine Gleichung übrig bleibt, die nur noch \(t\) enthält.
Genauso gut geht das Additionsverfahren: zwei Gleichungen (passend vervielfacht) addieren, sodass eine Unbekannte wegfällt.
Wie viele Lösungen hat das Gleichungssystem? Die Antwort verrät die Lage (Tabelle unten).
| Ergebnis des Gleichungssystems | Gemeinsame Punkte | Lage |
|---|---|---|
| genau eine Lösung (z. B. \(t = -1\)) | genau einer | \(g\) schneidet \(E\) – \(t\) in \(g\) einsetzen liefert den Schnittpunkt \(S\) |
| falsche Aussage (z. B. \(-2 = 1\)): keine Lösung | keiner | \(g\) ist echt parallel zu \(E\) |
| wahre Aussage (z. B. \(0 = 0\)): unendlich viele Lösungen | alle Punkte von \(g\) | \(g\) liegt in \(E\) |
Die drei Beispiele Schritt für Schritt
Wählen Sie eine Gerade und blättern Sie mit Weiter und Zurück (oder den Pfeiltasten) durch die Rechnung. Der Rechenweg ist jedes Mal derselbe – erst ganz am Ende, wenn nur noch \(t\) übrig ist, unterscheiden sich die drei Fälle.
Die drei Ergebnisse nebeneinander
\(g_1\)
\[\begin{aligned} -2 - 3t &= 1 \\ t &= -1 \end{aligned}\]genau eine Lösung → schneidet in \(S(3 \,|\, 1 \,|\, 0)\)
\(g_2\)
\[-2 = 1\]falsche Aussage, keine Lösung → echt parallel
\(g_3\)
\[0 = 0\]wahre Aussage, unendlich viele Lösungen → liegt in \(E\)
Weg 2: Einsetzen in die Koordinatenform
Dieselbe Aufgabe, aber mit der Koordinatenform der Ebene. Steht \(E\) noch in Parameterform da, wandelt man sie zuerst um: \(\vec n = \vec u \times \vec v\), dann \(d = \vec n \cdot \vec p\) (siehe Normalen- und Koordinatenform). Hier:
\[\vec n = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}, \qquad d = 1 + 2 + 2 = 5, \qquad E: x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 5\]So geht man vor
Die drei Zeilen der Geraden werden für \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) in die Koordinatengleichung eingesetzt. Bei \(g_1\):
\[x_1 = 3, \quad x_2 = 2 + t, \quad x_3 = 2 + 2t\] \[3 + 2(2 + t) + 2(2 + 2t) = 5\]Es bleibt eine Gleichung mit einer Unbekannten. Klammern auflösen, zusammenfassen, nach \(t\) auflösen:
\[\begin{aligned} 11 + 6t &= 5 \\ t &= -1 \end{aligned}\]Genau wie bei Weg 1 entscheidet die Lösung über die Lage (Tabelle unten). Bei \(g_1\): genau eine Lösung, also schneidet \(g_1\) die Ebene.
| Ergebnis nach dem Einsetzen | Lage |
|---|---|
| genau eine Lösung (z. B. \(t = -1\)) | \(g\) schneidet \(E\) – \(t\) in \(g\) einsetzen liefert den Schnittpunkt \(S\) |
| falsche Aussage (z. B. \(11 = 5\)): keine Lösung | \(g\) ist echt parallel zu \(E\) |
| wahre Aussage (z. B. \(5 = 5\)): unendlich viele Lösungen | \(g\) liegt in \(E\) |
Die Deutung ist dieselbe wie bei Weg 1 – nur hat man die Gleichung mit \(t\) hier sofort, ganz ohne Gleichungssystem.
Einsetzen zum Anfassen
Mit dem Regler wandert ein Punkt \(X\) über die Gerade. Rechts sehen Sie, was herauskommt, wenn man seine Koordinaten in \(x_1 + 2x_2 + 2x_3\) einsetzt. Ist das Ergebnis \(5\), liegt \(X\) in \(E\); das rote Lot zeigt sonst, wie weit er entfernt ist.
Die drei Beispiele im Heft
Genau eine Lösung. Einsetzen in \(g_1\):
\[\overrightarrow{OS} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\]Schnittpunkt \(S(3 \,|\, 1 \,|\, 0)\). Probe: \(3 + 2 + 0 = 5\) ✓
\(t\) fällt heraus, übrig bleibt eine falsche Aussage. Kein Punkt von \(g_2\) erfüllt die Gleichung: echt parallel.
\(t\) fällt heraus, übrig bleibt eine wahre Aussage – für jedes \(t\). Jeder Punkt von \(g_3\) liegt in \(E\).
Die beiden Wege im Vergleich
| Weg 1: Parameterform | Weg 2: Koordinatenform | |
|---|---|---|
| Ansatz | \(\vec a + t\,\vec w = \vec p + r\,\vec u + s\,\vec v\) | Zeilen von \(g\) in \(n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = d\) einsetzen |
| Rechnung | 3 Gleichungen, 3 Unbekannte, Einsetzungsverfahren | 1 Gleichung, 1 Unbekannte |
| Entscheidung | Gleichung, die am Ende nur noch \(t\) enthält | die eingesetzte Gleichung selbst |
| Schnittpunkt | \(t\) in \(g\) (oder \(r, s\) in \(E\)) einsetzen | \(t\) in \(g\) einsetzen |
| Fazit | immer möglich, aber aufwendig und fehleranfällig | der Standardweg – notfalls erst die Koordinatenform bestimmen |
Das Schema mit der Koordinatenform
Ein Klick auf ein Ergebnis zeigt das passende Beispiel oben im Bild mit dem Regler.
Stolpersteine
- Klammern setzen. \(2x_3\) wird zu \(2 \cdot (2 + 2t)\), nicht zu \(2 \cdot 2 + 2t\).
- \(t\) ist nicht der Schnittpunkt. Erst das Einsetzen von \(t\) in die Geradengleichung liefert \(S\).
- Bei \(0 = 0\) nicht „keine Lösung“ schreiben. Die Gleichung ist für jedes \(t\) erfüllt – das ist das Gegenteil.
- Probe machen. \(S\) in die Koordinatengleichung einsetzen kostet eine Zeile und fängt fast jeden Rechenfehler.
Übungen
Aufgabe 1 – Koordinatenform
Untersuchen Sie die Lage von \(g: \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(E: x_1 + x_2 + x_3 = 6\). Bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt.
Aufgabe 2 – Koordinatenform
\(g: \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\), \(\quad E: 2x_1 - x_2 + x_3 = 7\). Untersuchen Sie die Lage.
Aufgabe 3 – beide Wege
\(g: \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\), \(\quad E: \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\). Bestimmen Sie die Lage (a) durch Gleichsetzen, (b) mit der Koordinatenform. Vergleichen Sie den Aufwand.
Aufgabe 4 – liegt sie drin?
Zeigen Sie, dass \(g: \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) in der Ebene \(E: 3x_1 - x_2 + 2x_3 = 4\) liegt.
Aufgabe 5 – mit Parameter
\(g_a: \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\quad E: 2x_1 - x_2 + x_3 = 1\). Setzen Sie \(g_a\) in \(E\) ein. Für welches \(a\) schneidet \(g_a\) die Ebene nicht? Wie liegt \(g_a\) dann?
Aufgabe 6 – deuten
(a) Beim Gleichsetzen mit der Parameterform bleibt nach dem Einsetzen am Ende die Gleichung
\(0 = 0\) übrig. Was folgt für die Lage? Wie viele Lösungen hat das System?
(b) Begründen Sie, warum eine Gerade und eine Ebene im Raum nie windschief sein können.
Zum Merken
- Ebene in Koordinatenform bringen (falls nötig: \(\vec n = \vec u \times \vec v\), \(d = \vec n \cdot \vec p\)).
- Gerade zeilenweise einsetzen und nach \(t\) auflösen.
- Ergebnis deuten: eine Lösung → schneidet (Schnittpunkt durch Einsetzen von \(t\)); falsche Aussage → echt parallel; wahre Aussage → liegt in \(E\).