Normalenform und Koordinatenform
Eine Ebene durch einen Punkt und eine senkrechte Richtung beschreiben
Die Idee
Stellen Sie sich einen Teller vor, der auf einem senkrechten Stab balanciert. Wo der Teller ist, legt ein einziger Punkt fest; wie er geneigt ist, legt der Stab fest. Genauso ist eine Ebene bestimmt durch
- einen Punkt \(P\) der Ebene (Ortsvektor \(\vec p\)) und
- einen Normalenvektor \(\vec n\), der senkrecht auf der Ebene steht.
Ein Punkt \(X\) liegt genau dann in der Ebene, wenn der Vektor \(\overrightarrow{PX} = \vec x - \vec p\) in der Ebene verläuft – und das heißt: wenn er senkrecht auf \(\vec n\) steht. Mit dem Skalarprodukt ausgedrückt:
\[E: (\vec x - \vec p) \cdot \vec n = 0 \qquad \text{(Normalenform)}\]Die Normalenform zum Anfassen
Mit \(r\) und \(s\) wandert \(X\) in der Ebene. Mit \(t\) schieben Sie \(X\) in Richtung von \(\vec n\) aus der Ebene heraus. Beobachten Sie das Skalarprodukt \((\vec x - \vec p) \cdot \vec n\): Es ist genau dann \(0\), wenn \(X\) in der Ebene liegt. Drehen Sie das Bild, um den rechten Winkel zu sehen.
Das Vorzeichen verrät die Seite
Ist \((\vec x - \vec p) \cdot \vec n > 0\), dann bilden \(\overrightarrow{PX}\) und \(\vec n\) einen spitzen Winkel: \(X\) liegt auf der Seite der Ebene, in die \(\vec n\) zeigt. Bei einem negativen Wert liegt \(X\) auf der anderen Seite. Das brauchen Sie später, wenn es um Abstände geht.
Von der Parameterform zur Koordinatenform
Gegeben ist die Ebene
\[\begin{aligned} E: \vec x &= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ &\quad + s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}\]Vektorprodukt der Spannvektoren:
\[\begin{aligned} \vec n &= \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} (-1)(-1) - 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 0 - 2 \cdot (-1) \\ 2 \cdot 1 - (-1) \cdot 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}\]Probe: \(2 - 2 + 0 = 0\), \(0 + 2 - 2 = 0\) ✓
Stützvektor als \(\vec p\), dazu \(\vec n\):
\[E: \left[\vec x - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = 0\]\(\vec x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\) einsetzen und das Skalarprodukt ausrechnen:
\[\begin{aligned} &(x_1 - 1) \cdot 1 + (x_2 - 1) \cdot 2 \\ &\quad + (x_3 - 1) \cdot 2 = 0 \\ &x_1 + 2x_2 + 2x_3 - 5 = 0 \\ &x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 5 \end{aligned}\]Koordinatenform
\[E: n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = d\]mit \(d = \vec n \cdot \vec p\)
- Die Koeffizienten vor \(x_1, x_2, x_3\) sind genau die Koordinaten des Normalenvektors. Aus \(x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 5\) liest man \(\vec n = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) sofort ab.
- Die rechte Seite ist \(d = \vec n \cdot \vec p = 1 + 2 + 2 = 5\). Abkürzung für Schritt 3: Linke Seite hinschreiben, Stützpunkt einsetzen, das Ergebnis ist \(d\).
- Statt \(\vec n\) darf man jedes Vielfache nehmen. \(2x_1 + 4x_2 + 4x_3 = 10\) ist dieselbe Ebene – deshalb kürzt man \(\vec n\) vorher, wenn es geht.
Punktprobe in einer Zeile
Hier zahlt sich die Koordinatenform aus. Liegt \(Q\) in \(E: x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 5\)? Koordinaten einsetzen – fertig.
\(Q_1(3 \,|\, 0 \,|\, 1)\)
\(3 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 5\) ✓ – \(Q_1\) liegt in \(E\).
\(Q_2(1 \,|\, 2 \,|\, 2)\)
\(1 + 4 + 4 = 9 \ne 5\) ✗ – \(Q_2\) liegt nicht in \(E\), und zwar auf der Seite, in die \(\vec n\) zeigt (\(9 > 5\)).
Spurpunkte: die Ebene ins Heft zeichnen
Die Punkte, in denen eine Ebene die Koordinatenachsen schneidet, heißen Spurpunkte. Auf der \(x_1\)-Achse sind \(x_2 = x_3 = 0\) – man setzt diese Nullen in die Koordinatenform ein und löst nach \(x_1\) auf. Verbindet man die drei Spurpunkte, entsteht das Spurdreieck: das Stück der Ebene, das man im Heft zeichnet.
Tragen Sie eigene Koeffizienten ein. Was passiert, wenn einer davon \(0\) ist? Und wenn \(d = 0\) ist?
Was eine Null in der Gleichung bedeutet
- Ein Koeffizient ist 0, etwa bei \(x_1 + x_3 = 3\): Der Wert von \(x_2\) ist egal, man kann ihn beliebig ändern. Die Ebene ist parallel zur \(x_2\)-Achse – und hat keinen Spurpunkt auf ihr.
- Zwei Koeffizienten sind 0, etwa \(x_3 = 2\): Die Ebene ist parallel zu einer Koordinatenebene, hier waagerecht in der Höhe 2.
- \(d = 0\): Der Ursprung erfüllt die Gleichung, die Ebene geht durch ihn. Alle drei Spurpunkte fallen dort zusammen; zum Zeichnen braucht man andere Punkte.
Der Rückweg: von der Koordinatenform zur Parameterform
Manchmal braucht man doch wieder Spannvektoren, etwa um eine Gerade mit einer Ebene zu schneiden. Zwei Wege führen zurück:
Weg 1: drei Punkte
Drei Punkte der Ebene suchen – am bequemsten die Spurpunkte. Für \(3x_1 + 2x_2 + 4x_3 = 12\): \(S_1(4 \,|\, 0 \,|\, 0)\), \(S_2(0 \,|\, 6 \,|\, 0)\), \(S_3(0 \,|\, 0 \,|\, 3)\).
\[\begin{aligned} E: \vec x &= \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -4 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \\ &\quad + s \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{aligned}\]Weg 2: zwei Koordinaten frei wählen
Zwei Koordinaten werden zu Parametern, die dritte rechnet man aus. Bei \(x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 5\) setzt man \(x_2 = r\), \(x_3 = s\), dann ist \(x_1 = 5 - 2r - 2s\):
\[\begin{aligned} \vec x &= \begin{pmatrix} 5 - 2r - 2s \\ r \\ s \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ &\quad + s \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}\]Die drei Formen im Überblick
| Form | Gleichung | Stärke | Schwäche |
|---|---|---|---|
| Parameterform | \(\vec x = \vec p + r\,\vec u + s\,\vec v\) | direkt aus Punkten und Geraden aufstellbar; liefert beliebig viele Punkte | Punktprobe braucht ein Gleichungssystem |
| Normalenform | \((\vec x - \vec p) \cdot \vec n = 0\) | zeigt die Idee: Punkt plus senkrechte Richtung | meist nur ein Zwischenschritt |
| Koordinatenform | \(n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = d\) | Punktprobe in einer Zeile, \(\vec n\) ablesbar, Spurpunkte sofort | Punkte und Richtungen der Ebene muss man erst suchen |
Übungen
Aufgabe 1 – umwandeln
Bestimmen Sie eine Koordinatenform von \(E: \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) und wiederholen Sie damit die Punktprobe aus Aufgabe 4 der ersten Seite: \(Q(3 \,|\, 4 \,|\, 0)\) und \(R(2 \,|\, 2 \,|\, 2)\).
Aufgabe 2 – drei Punkte
Bestimmen Sie eine Koordinatenform der Ebene durch \(A(1 \,|\, 0 \,|\, 0)\), \(B(0 \,|\, 2 \,|\, 0)\) und \(C(0 \,|\, 0 \,|\, 3)\). Kontrollieren Sie mit den Spurpunkten.
Aufgabe 3 – Probe mit Seite 1
Auf der ersten Seite wurde für \(E: \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) mit zwei Gleichungssystemen geprüft, dass \(Q_1(0 \,|\, 5 \,|\, 3)\) in \(E\) liegt und \(Q_2(-1 \,|\, 6 \,|\, 2)\) nicht. Bestätigen Sie das mit der Koordinatenform. (Den Normalenvektor kennen Sie von der zweiten Seite.)
Aufgabe 4 – ablesen
\(E: 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 6\). Geben Sie einen Normalenvektor, einen Punkt von \(E\) und eine Normalenform an.
Aufgabe 5 – Spurpunkte und Lage
Bestimmen Sie die Spurpunkte von \(E: 2x_1 + 4x_3 = 8\) und beschreiben Sie die Lage der Ebene.
Aufgabe 6 – senkrecht zu einer Geraden
Die Ebene \(E\) geht durch \(P(1 \,|\, 2 \,|\, 3)\) und steht senkrecht auf der Geraden \(g: \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\). Bestimmen Sie eine Koordinatenform.
Aufgabe 7 – zurück
Geben Sie für \(E: x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 5\) eine Parameterform an, deren Stützpunkt der Spurpunkt auf der \(x_2\)-Achse ist.
Aufgabe 8 – besondere Ebenen
Geben Sie Koordinatengleichungen an für (a) die \(x_1x_2\)-Ebene, (b) die Ebene, die parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene durch \(P(2 \,|\, 4 \,|\, 1)\) verläuft, (c) die Ebene, die die \(x_3\)-Achse enthält und durch \(Q(1 \,|\, 1 \,|\, 0)\) geht.
Geschafft
Sie können eine Ebene jetzt auf drei Arten beschreiben und zwischen ihnen wechseln. Der Schlüssel ist der Normalenvektor: Das Vektorprodukt liefert ihn aus der Parameterform, in der Koordinatenform steht er direkt in den Koeffizienten.