Skalarprodukt und Vektorprodukt
Wie man prüft, ob zwei Vektoren senkrecht stehen – und wie man einen senkrechten baut
Wozu zwei neue Produkte?
Eine Ebene ist durch zwei Spannvektoren festgelegt. Ihre „Stellung“ im Raum – ob sie flach liegt, steil steht oder schräg geneigt ist – lässt sich aber auch mit einem einzigen Vektor beschreiben: einem Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Wie ein Mast, der senkrecht aus einem Brett ragt.
Um mit „senkrecht“ rechnen zu können, braucht man zwei Werkzeuge:
- einen Test, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen – das Skalarprodukt, und
- eine Bauanleitung für einen Vektor, der auf zwei gegebenen Vektoren senkrecht steht – das Vektorprodukt.
Das Skalarprodukt
Definition
Man multipliziert die Koordinaten paarweise und addiert:
\[\begin{aligned} \vec a \cdot \vec b &= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \\ &= a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \end{aligned}\]Beispiel: \(\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 4 + (-1) \cdot 5 + 3 \cdot 1 = 8 - 5 + 3 = 6\)
Achtung: Das Ergebnis ist eine Zahl (lateinisch scalaris), kein Vektor. Daher der Name.
Was die Zahl verrät
Im Bild liegen zwei Vektoren in einer Ebene, damit man die Winkel unverzerrt sieht. Ziehen Sie die Pfeilspitzen auf andere Gitterpunkte. Achten Sie darauf, wann das Skalarprodukt positiv, null oder negativ wird. Der dunkle Streifen auf \(\vec a\) ist der „Schatten“ von \(\vec b\), wenn das Licht senkrecht auf \(\vec a\) fällt.
Das Wichtigste zum Skalarprodukt
- Orthogonalität: \(\vec a \perp \vec b \iff \vec a \cdot \vec b = 0\) (für \(\vec a, \vec b \ne \vec 0\)). Das ist der Test, den wir für Ebenen brauchen.
- Vorzeichen: positiv bei spitzem Winkel, negativ bei stumpfem Winkel.
- Länge: \(\vec a \cdot \vec a = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = |\vec a|^2\), also \(|\vec a| = \sqrt{\vec a \cdot \vec a}\).
- Winkel: \(\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos\varphi\), also \(\cos\varphi = \dfrac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|}\).
Warum gilt \(\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos\varphi\)?
Die Vektoren \(\vec a\), \(\vec b\) und \(\vec a - \vec b\) bilden ein Dreieck. Der Kosinussatz sagt:
\[|\vec a - \vec b|^2 = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2\,|\vec a|\,|\vec b| \cos\varphi\]Links ausgerechnet mit Koordinaten:
\[\begin{aligned} &(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2 + (a_3 - b_3)^2 \\ &= |\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2\,(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3) \end{aligned}\]Beide Zeilen vergleichen: \(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = |\vec a|\,|\vec b| \cos\varphi\). Bei \(\varphi = 90^\circ\) ist \(\cos\varphi = 0\) – daher kommt der Orthogonalitätstest. Für \(\varphi = 90^\circ\) ist das nichts anderes als der Satz des Pythagoras.
Das Vektorprodukt
Jetzt die umgekehrte Aufgabe. Gegeben sind zwei Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\), die keine Vielfachen voneinander sind. Gesucht ist ein Vektor \(\vec n\), der auf beiden senkrecht steht:
\[\vec n \cdot \vec a = 0 \quad\text{und}\quad \vec n \cdot \vec b = 0\]Das sind zwei Gleichungen für drei Unbekannte \(n_1, n_2, n_3\) – es gibt also unendlich viele Lösungen. Kein Wunder: Ist \(\vec n\) senkrecht, dann auch \(2\vec n\) oder \(-\vec n\). Eine Lösung lässt sich aber immer mit einer festen Formel angeben:
Definition: Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
\[\begin{aligned} \vec a \times \vec b &= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix} \end{aligned}\]Gelesen: „\(a\) kreuz \(b\)“. Das Ergebnis ist ein Vektor, und er steht senkrecht auf \(\vec a\) und auf \(\vec b\).
Probe: Warum steht \(\vec a \times \vec b\) senkrecht auf \(\vec a\)?
Skalarprodukt mit \(\vec a\) bilden und ausmultiplizieren:
\[\begin{aligned} \vec a \cdot (\vec a \times \vec b) &= a_1(a_2 b_3 - a_3 b_2) \\ &\quad + a_2(a_3 b_1 - a_1 b_3) \\ &\quad + a_3(a_1 b_2 - a_2 b_1) \\ &= a_1 a_2 b_3 - a_1 a_3 b_2 + a_2 a_3 b_1 \\ &\quad - a_1 a_2 b_3 + a_1 a_3 b_2 - a_2 a_3 b_1 \\ &= 0 \end{aligned}\]Jeder Summand kommt einmal mit Plus und einmal mit Minus vor. Mit \(\vec b\) geht es genauso. Die Formel ist also gerade so gebaut, dass sich alles weghebt.
Das Rechenschema
Die Formel muss man nicht auswendig lernen. Mit einem Schema rechnet man sie in drei gleichen Schritten aus: Beide Vektoren nebeneinander schreiben, die ersten beiden Zeilen unten noch einmal anhängen. Für jede Koordinate des Ergebnisses nimmt man die beiden Zeilen darunter und rechnet „über Kreuz“: grün mal grün minus rot mal rot.
Was \(\vec a \times \vec b\) im Raum bedeutet
Ändern Sie die Vektoren und drehen Sie das Bild. Die kleinen Quadrate markieren die rechten Winkel. Mit den Knöpfen springt die Ansicht genau von oben auf das Parallelogramm oder genau von der Seite.
\(\vec a \times \vec b\) steht senkrecht auf \(\vec a\) und auf \(\vec b\), also senkrecht auf dem ganzen Parallelogramm.
Rechte-Hand-Regel: Daumen in Richtung \(\vec a\), Zeigefinger in Richtung \(\vec b\) – dann zeigt der abgespreizte Mittelfinger in Richtung \(\vec a \times \vec b\). Vertauscht man die Faktoren, kippt das Ergebnis: \(\vec b \times \vec a = -(\vec a \times \vec b)\).
\(|\vec a \times \vec b|\) ist der Flächeninhalt des Parallelogramms, das \(\vec a\) und \(\vec b\) aufspannen. Das Dreieck hat die Hälfte: \(A_\triangle = \frac{1}{2}\,|\vec a \times \vec b|\).
Warum ausgerechnet die Fläche?
Man kann zeigen: \(|\vec a \times \vec b| = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \sin\varphi\). Im Parallelogramm ist \(|\vec a|\) die Grundseite und \(|\vec b| \cdot \sin\varphi\) die Höhe – also genau Grundseite mal Höhe. Daraus folgt auch: Sind \(\vec a\) und \(\vec b\) parallel, gibt es kein Parallelogramm, und es ist \(\vec a \times \vec b = \vec 0\). Probieren Sie es oben aus.
Die beiden Produkte im Vergleich
| Skalarprodukt \(\vec a \cdot \vec b\) | Vektorprodukt \(\vec a \times \vec b\) | |
|---|---|---|
| Ergebnis | eine Zahl | ein Vektor (nur im Raum definiert) |
| Rechnung | \(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\) | Schema: über Kreuz, grün minus rot |
| Ist null, wenn … | \(\vec a \perp \vec b\) | \(\vec a \parallel \vec b\) |
| Faktoren tauschen | egal: \(\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a\) | Vorzeichen kippt: \(\vec b \times \vec a = -(\vec a \times \vec b)\) |
| Wofür | Test auf senkrecht, Winkel, Längen | senkrechten Vektor bauen, Flächeninhalte |
Nicht verwechseln
Der Punkt \(\cdot\) und das Kreuz \(\times\) sind hier keine beliebigen Malzeichen. Wer \(\vec a \cdot \vec b\) schreibt, meint eine Zahl; wer \(\vec a \times \vec b\) schreibt, einen Vektor. Ein Ausdruck wie \(\vec a \cdot \vec b \cdot \vec c\) ist deshalb sinnlos – nach dem ersten Punkt steht schon eine Zahl.
Zurück zur Ebene
Nimmt man als \(\vec a\) und \(\vec b\) die beiden Spannvektoren einer Ebene, dann steht \(\vec a \times \vec b\) senkrecht auf der ganzen Ebene. Ein solcher Vektor heißt Normalenvektor. Für die Ebene von der ersten Seite:
\[\begin{aligned} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 - 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 0 - (-1) \cdot 2 \\ (-1) \cdot 1 - 2 \cdot 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned}\]Probe: \(-4 + 4 + 0 = 0\) ✓ und \(0 + 2 - 2 = 0\) ✓. Wie man mit dem Normalenvektor eine ganz neue Ebenengleichung aufstellt, zeigt die nächste Seite.
Übungen
Aufgabe 1 – senkrecht oder nicht?
Gegeben sind \(\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec c = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\). Welche der Paare \(\vec a, \vec b\) und \(\vec a, \vec c\) sind orthogonal?
Aufgabe 2 – passend machen
Bestimmen Sie \(t\) so, dass \(\begin{pmatrix} 2 \\ t \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) senkrecht aufeinander stehen.
Aufgabe 3 – Winkel
Berechnen Sie den Winkel zwischen \(\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und \(\vec b = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\).
Aufgabe 4 – Vektorprodukt mit Probe
Berechnen Sie \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}\) und prüfen Sie Ihr Ergebnis mit dem Skalarprodukt.
Aufgabe 5 – Dreiecksfläche
Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Ecken \(A(1 \,|\, 0 \,|\, 0)\), \(B(0 \,|\, 2 \,|\, 0)\) und \(C(0 \,|\, 0 \,|\, 3)\).
Aufgabe 6 – Kontrolle mit Grundseite mal Höhe
\(\vec a = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\). Berechnen Sie die Fläche des Parallelogramms mit dem Vektorprodukt und kontrollieren Sie sie mit einer Skizze in der \(x_1x_2\)-Ebene.
Aufgabe 7 – Normalenvektor einer Ebene
Bestimmen Sie einen Normalenvektor der Ebene \(E: \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) (Aufgabe 1 der ersten Seite).
Aufgabe 8 – begründen
Berechnen Sie \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}\) und erklären Sie das Ergebnis geometrisch.
Wie geht es weiter?
Mit dem Skalarprodukt können Sie prüfen, ob etwas senkrecht ist; mit dem Vektorprodukt bauen Sie einen senkrechten Vektor. Beides zusammen ergibt die Normalenform einer Ebene – und aus ihr die besonders handliche Koordinatenform.