Ebenen in Parameterform
Ein Punkt und zwei Richtungen – und drei Wege, sie zu finden
Von der Geraden zur Ebene
Eine Gerade kennen Sie schon: Man startet an einem Punkt und darf sich dann in eine Richtung bewegen, beliebig weit vor und zurück.
\[g: \vec x = \vec p + r \cdot \vec u\]Für eine Ebene braucht man genau eine Richtung mehr. Vom Stützpunkt aus darf man sich in zwei Richtungen bewegen und beide Bewegungen beliebig kombinieren. So erreicht man jeden Punkt einer flachen, unendlich ausgedehnten Fläche.
\[E: \vec x = \vec p + r \cdot \vec u + s \cdot \vec v \qquad (r, s \in \mathbb{R})\]- \(\vec p\) ist der Stützvektor, der Ortsvektor eines Punktes \(P\) der Ebene.
- \(\vec u\) und \(\vec v\) sind die Spannvektoren (oder Richtungsvektoren). Sie „spannen“ die Ebene auf wie die beiden Stangen ein Zeltdach.
- \(r\) und \(s\) sind die Parameter. Jedes Paar \((r \,|\, s)\) liefert genau einen Punkt der Ebene.
Der Punkt wandert über die Ebene
Verschieben Sie die Regler für \(r\) und \(s\). Der Weg zum Punkt \(X\) besteht immer aus drei Pfeilen: erst zum Stützpunkt \(P\), dann \(r\)-mal \(\vec u\), dann \(s\)-mal \(\vec v\). Ziehen Sie mit der Maus oder dem Finger im Bild, um es zu drehen – erst von der Seite sieht man, dass alles flach in einer Ebene liegt.
Ziehen dreht das Bild, auch die Pfeiltasten funktionieren, wenn das Bild angeklickt ist.
Die eine Bedingung
Die Spannvektoren dürfen keine Vielfachen voneinander sein (und keiner darf der Nullvektor sein). Zeigen \(\vec u\) und \(\vec v\) in dieselbe oder die entgegengesetzte Richtung, kommt man mit beiden zusammen auch nicht weiter als mit einem allein – aus der Ebene wird eine Gerade. Probieren Sie es oben mit dem zweiten Häkchen aus. Man sagt auch: \(\vec u\) und \(\vec v\) müssen linear unabhängig sein.
Drei Wege zur Ebene
In Aufgaben ist eine Ebene selten direkt durch Stützvektor und Spannvektoren gegeben. Meist kennt man einen Punkt und eine Gerade, zwei Geraden oder drei Punkte. Das Rezept ist jedes Mal dasselbe: Einen Punkt als Stützpunkt nehmen, dann zwei verschiedene Richtungen finden, die in der Ebene liegen.
| Gegeben | Stützvektor | Spannvektoren | Geht nicht, wenn … |
|---|---|---|---|
| Punkt \(Q\) und Gerade \(g: \vec x = \vec a + t\,\vec u\) | \(\vec a\) | \(\vec u\) und \(\overrightarrow{AQ}\) | \(Q\) auf \(g\) liegt |
| Zwei schneidende Geraden | Stützvektor einer Geraden | beide Richtungsvektoren | – |
| Zwei echt parallele Geraden | \(\vec a\) | \(\vec u\) und \(\overrightarrow{AB}\) (Verbindung der Stützpunkte) | die Geraden identisch sind |
| Drei Punkte \(A, B, C\) | \(\vec a\) | \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\) | die Punkte auf einer Geraden liegen |
| Zwei windschiefe Geraden | Es gibt keine Ebene, die beide enthält. | ||
Alles läuft auf drei Punkte hinaus
Eigentlich gibt es nur einen Weg. Eine Gerade liefert beliebig viele Punkte; zwei davon und der zusätzliche Punkt sind schon drei. Bei zwei Geraden genügen zwei Punkte der einen und einer der anderen. Wer sich bei einer Aufgabe unsicher ist, sucht sich also drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen – und rechnet mit \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\) weiter.
Liegt ein Punkt in der Ebene?
Wie bei Geraden setzt man den Punkt für \(\vec x\) ein und fragt, ob es passende Parameter gibt. Diesmal sind es zwei Unbekannte, aber drei Gleichungen: Zwei Zeilen liefern \(r\) und \(s\), die dritte ist die Probe.
Beispiel: die Ebene von oben, \(E: \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\).
\(Q_1(0 \,|\, 5 \,|\, 3)\)
\[\begin{array}{rcll} 1 - r &=& 0 & \text{(I)} \\ 2 + 2r + s &=& 5 & \text{(II)} \\ 1 + 2s &=& 3 & \text{(III)} \end{array}\](I) liefert \(r = 1\), eingesetzt in (II): \(4 + s = 5 \Rightarrow s = 1\).
Probe (III): \(1 + 2 \cdot 1 = 3\) ✓ – \(Q_1\) liegt in \(E\), und zwar bei \(r = 1,\ s = 1\).
\(Q_2(-1 \,|\, 6 \,|\, 2)\)
\[\begin{array}{rcll} 1 - r &=& -1 & \text{(I)} \\ 2 + 2r + s &=& 6 & \text{(II)} \\ 1 + 2s &=& 2 & \text{(III)} \end{array}\](I) liefert \(r = 2\), eingesetzt in (II): \(6 + s = 6 \Rightarrow s = 0\).
Probe (III): \(1 + 2 \cdot 0 = 1 \ne 2\) ✗ – \(Q_2\) liegt nicht in \(E\).
Das geht auch kürzer
Die Punktprobe in der Parameterform ist jedes Mal ein kleines Gleichungssystem. Auf der dritten Seite lernen Sie eine andere Form der Ebenengleichung kennen, die Koordinatenform. Mit ihr ist dieselbe Probe eine einzige Zeile: Koordinaten einsetzen, fertig. Der Weg dorthin führt über das Vektorprodukt.
Eine Ebene, viele Gleichungen
Jeder Punkt der Ebene kann Stützpunkt sein, und jedes Paar nicht paralleler Richtungen in der Ebene taugt als Spannvektoren. Zwei Schüler können also verschiedene Gleichungen aufschreiben und trotzdem beide recht haben. Ob zwei Gleichungen dieselbe Ebene beschreiben, prüft man so: Der Stützpunkt der einen muss in der anderen liegen, und beide Spannvektoren müssen sich aus den Spannvektoren der anderen kombinieren lassen.
Zum Merken
- Parameterform: \(E: \vec x = \vec p + r \cdot \vec u + s \cdot \vec v\) mit einem Stützvektor und zwei Spannvektoren, die keine Vielfachen voneinander sind.
- Aufstellen: einen Punkt als Stützpunkt, zwei Richtungen in der Ebene als Spannvektoren. Bei drei Punkten: \(\vec x = \vec a + r \cdot \overrightarrow{AB} + s \cdot \overrightarrow{AC}\).
- Vorher prüfen: Liegen die drei Punkte auf einer Geraden? Liegt der Punkt auf der Geraden? Sind die Geraden windschief oder identisch? Dann gibt es keine (eindeutige) Ebene.
- Punktprobe: Punkt einsetzen, zwei Zeilen nach \(r\) und \(s\) auflösen, die dritte als Probe.
Übungen
Aufgabe 1 – drei Punkte
Stellen Sie eine Parametergleichung der Ebene durch \(A(1 \,|\, 2 \,|\, 0)\), \(B(3 \,|\, 1 \,|\, 1)\) und \(C(0 \,|\, 4 \,|\, 2)\) auf.
Aufgabe 2 – Punkt und Gerade
Die Ebene \(E\) enthält die Gerade \(g: \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) und den Punkt \(Q(3 \,|\, 2 \,|\, 2)\). Geben Sie eine Parametergleichung von \(E\) an.
Aufgabe 3 – zwei Geraden
\(g: \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\qquad h: \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\). Zeigen Sie, dass \(g\) und \(h\) in einer Ebene liegen, und stellen Sie eine Gleichung dieser Ebene auf. Was fällt an der Ebene auf?
Aufgabe 4 – Punktprobe
\(E: \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\). Prüfen Sie, ob \(Q(3 \,|\, 4 \,|\, 0)\) und \(R(2 \,|\, 2 \,|\, 2)\) in \(E\) liegen.
Aufgabe 5 – ein Fehler mit Ansage
Ein Schüler soll die Ebene durch \(A(1 \,|\, 2 \,|\, 3)\), \(B(2 \,|\, 4 \,|\, 5)\) und \(C(4 \,|\, 8 \,|\, 9)\) aufstellen. Warum gelingt das nicht? Ändern Sie eine Koordinate von \(C\) so, dass es klappt.
Aufgabe 6 – mit Parameter
Für welchen Wert von \(a\) spannen \(\vec u = \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec v = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\) keine Ebene auf?
Aufgabe 7 – durch den Ursprung?
Geht die Ebene \(E: \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) durch den Koordinatenursprung? Falls ja: Geben Sie eine einfachere Gleichung derselben Ebene an.
Wie geht es weiter?
Die Parameterform sagt, wie man in der Ebene herumläuft. Für viele Fragen ist eine andere Sicht praktischer: Welche Richtung steht senkrecht auf der Ebene? Um diese Richtung zu berechnen, brauchen Sie zwei neue Werkzeuge – das Skalarprodukt und das Vektorprodukt.