Bruchzahlen und Dezimalzahlen
Lerne, wie du zwischen Brüchen und Dezimalzahlen umrechnen kannst und verstehe den Zusammenhang.
Umwandlung von Brüchen in Dezimalzahlen
Regel: Brüche in Dezimalzahlen umwandeln
Um einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, teile den Zähler durch den Nenner. Diese Division kannst du schriftlich oder mit dem Taschenrechner durchführen.
Bei der Umwandlung können verschiedene Arten von Dezimalzahlen entstehen:
- Abbrechende Dezimalzahlen: Die Division ergibt eine endliche Anzahl von Nachkommastellen (z.B. \(\frac{3}{4} = 0{,}75\))
- Periodische Dezimalzahlen: Bei der Division wiederholt sich eine Ziffernfolge unendlich oft (z.B. \(\frac{1}{3} = 0{,}333...\))
Beispiel 1: Abbrechende Dezimalzahl
Wandle \(\frac{3}{8}\) in eine Dezimalzahl um.
Division durchführen
Teile 3 durch 8: \(3 \div 8 = 0{,}375\)
Ergebnis
Dies ist eine abbrechende Dezimalzahl mit drei Nachkommastellen.
Beispiel 2: Periodische Dezimalzahl
Wandle \(\frac{2}{3}\) in eine Dezimalzahl um.
Division durchführen
Teile 2 durch 3: \(2 \div 3 = 0{,}6666...\)
Ergebnis
Dies ist eine periodische Dezimalzahl. Der Strich über der 6 bedeutet, dass diese Ziffer sich unendlich oft wiederholt.
Tipp: Wann entstehen abbrechende Dezimalzahlen?
Ein Bruch \(\frac{a}{b}\) in gekürzter Form ergibt genau dann eine abbrechende Dezimalzahl, wenn der Nenner \(b\) nur die Primfaktoren 2 und/oder 5 enthält.
Beispiele für Nenner, die abbrechende Dezimalzahlen ergeben:
- 2 = \(2^1\)
- 4 = \(2^2\)
- 5 = \(5^1\)
- 8 = \(2^3\)
- 10 = \(2 \cdot 5\)
- 20 = \(2^2 \cdot 5\)
- 25 = \(5^2\)
Bei allen anderen Nennern entstehen periodische Dezimalzahlen.
Umwandlung von Dezimalzahlen in Brüche
Regel: Dezimalzahlen in Brüche umwandeln
Die Umwandlung von Dezimalzahlen in Brüche hängt davon ab, ob es sich um abbrechende oder periodische Dezimalzahlen handelt.
Für abbrechende Dezimalzahlen:
- Schreibe die Dezimalzahl als Zähler eines Bruchs
- Als Nenner wähle 1 gefolgt von so vielen Nullen, wie es Nachkommastellen gibt
- Kürze den Bruch, wenn möglich
Für periodische Dezimalzahlen:
Hier benötigst du spezielle Umwandlungstechniken, die wir weiter unten betrachten.
Beispiel 1: Abbrechende Dezimalzahl in Bruch umwandeln
Wandle 0,25 in einen Bruch um.
Dezimalzahl als Bruch schreiben
0,25 hat zwei Nachkommastellen, also:
Bruch kürzen
Der Bruch \(\frac{25}{100}\) kann durch 25 gekürzt werden:
Ergebnis
\(0{,}25 = \frac{1}{4}\)
Beispiel 2: Umwandlung von 0,75
Wandle 0,75 in einen Bruch um.
Dezimalzahl als Bruch schreiben
0,75 hat zwei Nachkommastellen, also:
Bruch kürzen
Der Bruch \(\frac{75}{100}\) kann durch 25 gekürzt werden:
Ergebnis
\(0{,}75 = \frac{3}{4}\)
Periodische Dezimalzahlen in Brüche umwandeln
Regel: Umwandlung periodischer Dezimalzahlen
Für periodische Dezimalzahlen verwenden wir eine besondere Methode:
- Benenne die periodische Dezimalzahl als Variable (z.B. \(x = 0{,}\overline{3}\))
- Multipliziere beide Seiten mit einer Zehnerpotenz, die die Periode an eine ganzzahlige Position verschiebt
- Subtrahiere die ursprüngliche Gleichung von der neuen Gleichung
- Löse nach der Variablen auf
Beispiel 1: Rein periodische Dezimalzahl
Wandle \(0{,}\overline{3}\) (= 0,333...) in einen Bruch um.
Gleichung aufstellen
Setze \(x = 0{,}\overline{3}\)
Mit Zehnerpotenz multiplizieren
Multipliziere mit 10 (weil die Periode eine Stelle lang ist):
Gleichungen subtrahieren
Subtrahiere die erste Gleichung von der zweiten:
\(9x = 3\)
Nach x auflösen
Ergebnis
\(0{,}\overline{3} = \frac{1}{3}\)
Beispiel 2: Gemischt periodische Dezimalzahl
Wandle \(0{,}2\overline{7}\) (= 0,2777...) in einen Bruch um.
Gleichung aufstellen
Setze \(x = 0{,}2\overline{7}\)
Mit Zehnerpotenz multiplizieren
Multipliziere mit 10 (um die Vorperiode zu berücksichtigen):
Multipliziere nochmals mit 10 (für die einstellige Periode):
Gleichungen subtrahieren
Subtrahiere die erste von der zweiten Gleichung:
\(90x = 25\)
Nach x auflösen
Ergebnis
\(0{,}2\overline{7} = \frac{5}{18}\)
Dezimalbrüche als Dezimalzahlen
Regel: Dezimalbrüche
Dezimalbrüche sind Brüche, deren Nenner eine Zehnerpotenz ist (10, 100, 1000, ...). Diese sind besonders einfach in Dezimalzahlen umzuwandeln.
Allgemein gilt: Ein Dezimalbruch \(\frac{a}{10^n}\) hat genau \(n\) Nachkommastellen.
Beispiele für Dezimalbrüche
Beispiel mit Nenner 10
Beispiel mit Nenner 100
Beispiel mit Nenner 1000
Tipp: Prozentrechnung und Dezimalzahlen
Prozentangaben lassen sich leicht in Dezimalzahlen umwandeln:
- 1% = 0,01
- 10% = 0,1
- 25% = 0,25
- 50% = 0,5
- 75% = 0,75
- 100% = 1
Ebenso kann man Prozentangaben als Brüche schreiben:
- 25% = \(\frac{25}{100} = \frac{1}{4}\)
- 50% = \(\frac{50}{100} = \frac{1}{2}\)
- 75% = \(\frac{75}{100} = \frac{3}{4}\)
Übungsaufgaben
Aufgabe 1: Brüche in Dezimalzahlen umwandeln
Wandle folgende Brüche in Dezimalzahlen um:
a) \(\frac{1}{2}\)
b) \(\frac{3}{5}\)
c) \(\frac{7}{8}\)
d) \(\frac{2}{9}\)
Aufgabe 2: Dezimalzahlen in Brüche umwandeln
Wandle folgende Dezimalzahlen in vollständig gekürzte Brüche um:
a) 0,4
b) 0,125
c) 0,375
d) 0,85
Aufgabe 3: Periodische Dezimalzahlen in Brüche umwandeln
Wandle folgende periodische Dezimalzahlen in Brüche um:
a) \(0{,}\overline{6}\) (= 0,666...)
b) \(0{,}\overline{27}\) (= 0,272727...)
c) \(0{,}3\overline{6}\) (= 0,3666...)
Aufgabe 4: Gemischte Übungen
a) Wandle 45% in einen Bruch und in eine Dezimalzahl um.
b) Stelle \(\frac{5}{6}\) als Dezimalzahl dar.
c) Welcher Bruch entspricht 0,0625?