Gradmaß und Bogenmaß
Einen Winkel kann man in Grad angeben – oder durch die Länge des Bogens, der am Einheitskreis zu ihm gehört. Rolle den Bogen ab, rechne zwischen beiden Maßen um und stelle den Taschenrechner richtig ein.
Worum es geht
Bisher hast du Winkel im Gradmaß angegeben, zum Beispiel \(\alpha = 60^\circ\). Man kann einen Winkel aber auch durch die Länge des Bogens angeben, der am Einheitskreis zu ihm gehört. Das nennt man Bogenmaß.
Diese Seite begleitet den ersten Teil des Arbeitsblatts Die allgemeine Sinusfunktion. Bearbeite die Aufgaben zuerst auf dem Blatt und kontrolliere sie dann hier.
Der Bogen gehört zum Winkel
Verändere den Winkel \(\alpha\) mit dem Regler oder ziehe den Punkt \(P\) über den Kreis. Der rote Bogen gehört zum Winkel. Mit Bogen abrollen legst du ihn gerade auf den Zahlenstrahl – dort kannst du seine Länge ablesen.
Das Wichtigste
Der Einheitskreis hat den Radius \(r = 1\), also den Umfang \(U = 2\pi \cdot r = 2\pi\). Ein voller Umlauf (\(360^\circ\)) entspricht damit der Bogenlänge \(2\pi \approx 6{,}28\). Daraus folgt:
Wie oft passt der Radius auf den Kreis?
Nimm den Radius (Länge 1) und biege ihn auf den Kreisbogen – Stück für Stück. So siehst du, warum ein halber Kreis die Länge \(\pi \approx 3{,}14\) hat und welcher Winkel zur Bogenlänge 1 gehört.
Drücke auf Radius abtragen.
Aufgaben zum Arbeitsblatt
Aufgabe 1: Umrechnen
Bogenmaß \(x\) und Gradmaß \(\alpha\) stehen im selben Verhältnis zu \(\pi\) bzw. \(180^\circ\):
\[ \frac{x}{\pi} = \frac{\alpha}{180^\circ} \]
Umgestellt:
Beispiele
Grad → Bogen: \(\alpha = 150^\circ\): \(\;x = \frac{150^\circ}{180^\circ} \cdot \pi = \frac{5\pi}{6} \approx 2{,}62\)
Bogen → Grad: \(x = \frac{3\pi}{4}\): \(\;\alpha = \frac{3\pi}{4} : \pi \cdot 180^\circ = \frac{3}{4} \cdot 180^\circ = 135^\circ\)
Dezimalzahl: \(x = 2\): \(\;\alpha = \frac{2}{\pi} \cdot 180^\circ \approx 114{,}59^\circ\)
Vervollständige die Tabelle. Dezimalzahlen rundest du auf zwei Nachkommastellen.
So gibst du Vielfache von \(\pi\) ein: 2π/3 oder 2pi/3. Eine gerundete Dezimalzahl wie 2,09 geht auch.
| Gradmaß \(\alpha\) | 0° | 30° | 60° | 90° | 180° | 360° | 100° | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Bogenmaß \(x\) | 0 | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(\frac{2\pi}{3}\) | \(\pi\) | \(\frac{3\pi}{2}\) | 1 |
Aufgabe 2: Die Sinusfunktion in Grad und im Bogenmaß
Auf der \(x\)-Achse kann der Winkel sowohl im Gradmaß als auch im Bogenmaß angegeben werden. Ergänze an den markierten Stellen \(A\), \(B\) und \(C\) die fehlenden Angaben.
| Stelle | Bogenmaß | Gradmaß |
|---|---|---|
| A | \(\pi\) | |
| B | 270° | |
| C |
Ab jetzt verwenden wir für Sinusfunktionen das Bogenmaß. Dann sind \(x\) und \(y\) ganz normale Zahlen.
Aufgabe 3: Den Taschenrechner richtig einstellen
Welche Einstellung brauche ich?
| \(\sin(30^\circ)\), \(\sin(90^\circ)\), … | Winkel mit Gradzeichen ° | \(\Longrightarrow\) DEG (Gradmaß, engl. degree) |
| \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\), \(\sin(1)\), \(\sin(90)\), … | Winkel ohne Gradzeichen | \(\Longrightarrow\) RAD (Bogenmaß, engl. radian) |
Bei Sinusfunktionen \(f(x)\) steht \(x\) ohne Gradzeichen. Funktionswerte berechnest du also immer mit RAD.
Umstellen, z. B. Casio fx-991DE X: SHIFT + MENU (SETUP) → Winkeleinheit. Andere Modelle: Taste MODE oder DRG.
a) Entscheide zuerst, welche Einstellung du brauchst. Berechne dann den Wert (drei Nachkommastellen).
| Aufgabe | \(\sin(90^\circ)\) | \(\sin(90)\) | \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\) | \(\sin(30^\circ)\) | \(\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\) | \(\sin(45^\circ)\) | \(\sin(1)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Einstellung | |||||||
| Ergebnis |
b) Erkläre, warum \(\sin(90^\circ)\) und \(\sin(90)\) verschiedene Ergebnisse liefern. Schau dir dazu an, wohin der Punkt \(P\) jeweils läuft.
Wähle eine Rechnung aus.
Wie geht es weiter?
Im zweiten Teil des Arbeitsblatts untersuchst du, was die Parameter \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) in \(f(x) = a \cdot \sin\left(b \cdot (x - c)\right) + d\) mit dem Graphen machen – natürlich im Bogenmaß.