π
U = 2πr
⊙

Die Kreiszahl Pi und der Umfang eines Kreises

Entdecke, wie die Kreiszahl Pi durch das Abrollen eines Kreises hergeleitet werden kann und lerne, wie man den Umfang eines Kreises berechnet.

Herleitung der Kreiszahl Pi

Die Kreiszahl Pi (π) ist eine der faszinierendsten und wichtigsten Zahlen in der Mathematik. Sie beschreibt das Verhältnis zwischen dem Umfang eines Kreises und seinem Durchmesser. In diesem Abschnitt wirst du durch eine interaktive Animation sehen, wie man die Kreiszahl Pi herleiten kann.

Das Verhältnis von Umfang und Durchmesser bei Kreisen

Mit dieser interaktiven Animation kannst du beobachten, wie der Umfang eines Kreises mit seinem Durchmesser zusammenhängt.

Messwerte aus dem Experiment

Durchmesser (cm) Abgelesener Umfang (cm) Umfang/Durchmesser
≈ 3.14
-
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-
-

Trage deine Messwerte aus der Animation ein und beobachte, dass das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser immer ungefähr π ≈ 3,14159... ergibt.

Was ist zu beobachten?

In der obigen Animation wird ein Kreis entlang eines Lineals abgerollt. Dabei kannst du folgendes beobachten:

  • Der Kreis rollt genau einmal vollständig ab, wenn er eine Strecke zurückgelegt hat, die seinem Umfang entspricht.
  • Wenn du den Durchmesser des Kreises änderst, ändert sich auch sein Umfang proportional dazu.
  • Das Verhältnis von Umfang (U) zu Durchmesser (d) bleibt immer konstant: \( \frac{U}{d} = \pi \)

Diese konstante Zahl nennen wir Pi (π) und sie hat den Näherungswert 3,14159...

Mathematische Herleitung

Aus unserer Beobachtung können wir folgende Formel herleiten:

\[U = \pi \cdot d\]

Da der Durchmesser d = 2r ist, wobei r den Radius des Kreises bezeichnet, können wir auch schreiben:

\[U = \pi \cdot 2r = 2\pi r\]

Diese Formel ist eine der grundlegendsten in der Geometrie und besagt:

Der Umfang eines Kreises berechnet sich als 2π mal dem Radius.

Beispiel: Fahrradreifen

Ein Fahrradreifen hat einen Durchmesser von 66 cm. Wie weit kommt man mit einer Umdrehung des Reifens?

Lösung:

Gegeben ist der Durchmesser d = 66 cm. Wir suchen den Umfang U des Reifens.

Nach der Formel gilt: \(U = \pi \cdot d = \pi \cdot 66 \text{ cm}\)

Mit π ≈ 3,14159 erhalten wir:

\(U \approx 3,14159 \cdot 66 \text{ cm} \approx 207,34 \text{ cm} \approx 2,07 \text{ m}\)

Mit einer Umdrehung des Reifens kommt man also etwa 2,07 Meter weit.

Teste dein Wissen

Ein Kreis hat einen Radius von 5 cm. Wie groß ist sein Umfang?

Ein Kreis hat einen Umfang von 20π cm. Wie groß ist sein Radius?

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