Übungsaufgaben zu Kreisen

Lösung:

Alter Flächeninhalt bei Radius \(r_{alt} = 6\) cm:

\(A_{alt} = \pi \cdot (6 \text{ cm})^2 = 36\pi \text{ cm}^2\)

Neuer Flächeninhalt bei Radius \(r_{neu} = 9\) cm:

\(A_{neu} = \pi \cdot (9 \text{ cm})^2 = 81\pi \text{ cm}^2\)

Prozentuale Zunahme:

\(\frac{A_{neu} - A_{alt}}{A_{alt}} \cdot 100\% = \frac{81\pi - 36\pi}{36\pi} \cdot 100\% = \frac{45\pi}{36\pi} \cdot 100\% = 1,25 \cdot 100\% = 125\%\)

Der Flächeninhalt nimmt also um 125% zu (er wird also um den Faktor 2,25 größer).

Lösung:

Kleine Pizza mit Durchmesser \(d_1 = 24\) cm:

Radius \(r_1 = \frac{d_1}{2} = \frac{24 \text{ cm}}{2} = 12 \text{ cm}\)

Flächeninhalt \(A_1 = \pi \cdot r_1^2 = \pi \cdot (12 \text{ cm})^2 = 144\pi \text{ cm}^2\)

Große Pizza mit Durchmesser \(d_2 = 30\) cm:

Radius \(r_2 = \frac{d_2}{2} = \frac{30 \text{ cm}}{2} = 15 \text{ cm}\)

Flächeninhalt \(A_2 = \pi \cdot r_2^2 = \pi \cdot (15 \text{ cm})^2 = 225\pi \text{ cm}^2\)

Prozentuale Zunahme:

\(\frac{A_2 - A_1}{A_1} \cdot 100\% = \frac{225\pi - 144\pi}{144\pi} \cdot 100\% = \frac{81\pi}{144\pi} \cdot 100\% = 0,5625 \cdot 100\% = 56,25\%\)

Du erhältst also etwa 56,25% mehr Pizza.

Lösung:

Gegeben: Flächeninhalt \(A = 200\) cm²

Umstellen der Formel \(A = \pi \cdot r^2\) nach \(r\):

\(r^2 = \frac{A}{\pi} = \frac{200 \text{ cm}^2}{\pi}\)

\(r = \sqrt{\frac{200 \text{ cm}^2}{\pi}} \approx \sqrt{\frac{200 \text{ cm}^2}{3,14159}} \approx \sqrt{63,66 \text{ cm}^2} \approx 7,98 \text{ cm}\)

Berechnung des Umfangs:

\(U = 2\pi \cdot r \approx 2\pi \cdot 7,98 \text{ cm} \approx 50,17 \text{ cm}\)

Der Radius beträgt also etwa 7,98 cm und der Umfang etwa 50,17 cm.

Lösung:

Die Diagonale d des Quadrats entspricht dem Durchmesser des Kreises:

\(d = 2r = 2 \cdot 10 \text{ cm} = 20 \text{ cm}\)

Die Seitenlänge s des Quadrats kann über die Diagonale berechnet werden:

\(d = s \cdot \sqrt{2}\)

\(s = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{20 \text{ cm}}{\sqrt{2}} \approx 14,14 \text{ cm}\)

Flächeninhalt des Quadrats:

\(A_{Quadrat} = s^2 = (14,14 \text{ cm})^2 \approx 200 \text{ cm}^2\)

Flächeninhalt des Kreises:

\(A_{Kreis} = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (10 \text{ cm})^2 = 100\pi \text{ cm}^2 \approx 314,16 \text{ cm}^2\)

Verhältnis:

\(\frac{A_{Quadrat}}{A_{Kreis}} = \frac{200 \text{ cm}^2}{100\pi \text{ cm}^2} = \frac{2}{\pi} \approx 0,6366 \approx \frac{2}{3}\)

Das Verhältnis der Fläche des Quadrats zur Fläche des Kreises beträgt also etwa 2:π (≈ 2:3,14 ≈ 0,64).

Lösung:

Gegeben: Zentriwinkel \(\alpha = 60°\) und Flächeninhalt des Sektors \(A_{Sektor} = 25\pi\) cm²

Zunächst berechnen wir den Radius aus der Formel für den Flächeninhalt des Kreissektors:

\(A_{Sektor} = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi \cdot r^2\)

\(25\pi \text{ cm}^2 = \frac{60°}{360°} \cdot \pi \cdot r^2 = \frac{1}{6} \cdot \pi \cdot r^2\)

\(25\pi \text{ cm}^2 \cdot 6 = \pi \cdot r^2\)

\(150\pi \text{ cm}^2 = \pi \cdot r^2\)

\(r^2 = 150 \text{ cm}^2\)

\(r = \sqrt{150} \text{ cm} \approx 12,25 \text{ cm}\)

Nun berechnen wir den Flächeninhalt des Dreiecks, das vom Mittelpunkt und den beiden Endpunkten des Kreisbogens gebildet wird:

Die Höhe des Dreiecks ist \(r = 12,25\) cm

Die Grundseite ist die Sehne mit der Länge \(s = 2r \cdot \sin(\frac{\alpha}{2}) = 2 \cdot 12,25 \text{ cm} \cdot \sin(30°) = 24,5 \text{ cm} \cdot 0,5 = 12,25 \text{ cm}\)

\(A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot s \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12,25 \text{ cm} \cdot 12,25 \text{ cm} \cdot \cos(30°) = 75 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ cm}^2 \approx 64,95 \text{ cm}^2\)

Der Flächeninhalt des Kreissegments ist:

\(A_{Segment} = A_{Sektor} - A_{Dreieck} = 25\pi \text{ cm}^2 - 64,95 \text{ cm}^2 \approx 78,54 \text{ cm}^2 - 64,95 \text{ cm}^2 \approx 13,59 \text{ cm}^2\)

Der Radius beträgt also etwa 12,25 cm und der Flächeninhalt des Kreissegments etwa 13,59 cm².

Lösung:

Wir vergleichen verschiedene Formen mit einer Fläche von 500 m²:

Kreis:

Fläche: \(A = \pi \cdot r^2 = 500 \text{ m}^2\)

\(r^2 = \frac{500 \text{ m}^2}{\pi} \approx 159,15 \text{ m}^2\)

\(r \approx 12,62 \text{ m}\)

Umfang: \(U = 2\pi \cdot r \approx 2\pi \cdot 12,62 \text{ m} \approx 79,27 \text{ m}\)

Kosten: \(79,27 \text{ m} \cdot 25 \text{ €/m} = 1.981,75 \text{ €}\)

Quadrat:

Fläche: \(A = s^2 = 500 \text{ m}^2\)

\(s = \sqrt{500 \text{ m}^2} \approx 22,36 \text{ m}\)

Umfang: \(U = 4 \cdot s = 4 \cdot 22,36 \text{ m} = 89,44 \text{ m}\)

Kosten: \(89,44 \text{ m} \cdot 25 \text{ €/m} = 2.236 \text{ €}\)

Rechteck (z.B. mit Seitenverhältnis 2:1):

Fläche: \(A = a \cdot b = 500 \text{ m}^2\), mit \(a = 2b\)

\(2b \cdot b = 500 \text{ m}^2\)

\(2b^2 = 500 \text{ m}^2\)

\(b^2 = 250 \text{ m}^2\)

\(b \approx 15,81 \text{ m}, a \approx 31,62 \text{ m}\)

Umfang: \(U = 2a + 2b = 2 \cdot 31,62 \text{ m} + 2 \cdot 15,81 \text{ m} = 94,86 \text{ m}\)

Kosten: \(94,86 \text{ m} \cdot 25 \text{ €/m} = 2.371,50 \text{ €}\)

Der Kreis hat bei gleicher Fläche den kleinsten Umfang, daher ist die optimale Form für den Garten ein Kreis. Die minimalen Kosten betragen 1.981,75 €.