α
A = (α/360°)·πr²
◔

Flächeninhalt von Kreissektor und Kreissegment

Erkenne den Zusammenhang zwischen dem Zentriwinkel eines Kreissektors und dessen Flächeninhalt sowie die Berechnung von Kreissegmenten.

Der Kreissektor und seine Berechnung

Ein Kreissektor ist ein Teil eines Kreises, der von zwei Radien und einem Kreisbogen begrenzt wird. Er ähnelt einem "Kuchenstück" oder einem "Tortenstück".

Kreissektor und Zentriwinkel

Der Flächeninhalt eines Kreissektors steht im gleichen Verhältnis zum Flächeninhalt des gesamten Kreises wie der Zentriwinkel zum Vollwinkel (360°).

Wenn wir also einen Kreissektor mit dem Zentriwinkel α haben, gilt:

\[\frac{A_{Sektor}}{A_{Kreis}} = \frac{\alpha}{360°}\]

Da der Flächeninhalt des gesamten Kreises \(A_{Kreis} = \pi \cdot r^2\) ist, können wir daraus die Formel für den Flächeninhalt des Kreissektors ableiten:

\[A_{Sektor} = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi \cdot r^2\]

Bei Verwendung des Bogenmaßes (Radianten) ändert sich die Formel zu:

\[A_{Sektor} = \frac{\alpha}{2\pi} \cdot \pi \cdot r^2 = \frac{\alpha \cdot r^2}{2}\]

wobei α in Radianten gemessen wird (für einen Vollkreis ist α = 2π).

Der Kreissegment und seine Berechnung

Ein Kreissegment ist ein Teil eines Kreises, der von einer Sehne und einem Kreisbogen begrenzt wird. Es kann als ein Kreissektor minus dem Dreieck, das vom Mittelpunkt und den Endpunkten der Sehne gebildet wird, betrachtet werden.

Berechnung des Kreissegments

Um den Flächeninhalt eines Kreissegments zu berechnen, ziehen wir den Flächeninhalt des Dreiecks vom Flächeninhalt des entsprechenden Kreissektors ab:

\[A_{Segment} = A_{Sektor} - A_{Dreieck}\]

Der Flächeninhalt des Kreissektors wurde bereits hergeleitet:

\[A_{Sektor} = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi \cdot r^2\]

Der Flächeninhalt des Dreiecks, das vom Mittelpunkt und den Endpunkten der Sehne gebildet wird, kann wie folgt berechnet werden:

\[A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin(\alpha)\]

Somit ergibt sich für den Flächeninhalt des Kreissegments:

\[A_{Segment} = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi \cdot r^2 - \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin(\alpha)\] \[A_{Segment} = r^2 \cdot \left(\frac{\alpha \cdot \pi}{360°} - \frac{\sin(\alpha)}{2}\right)\]

wobei α der Zentriwinkel in Grad ist.

Beispiel: Kreissektor und Kreissegment

Ein Kreis hat den Radius r = 8 cm. Berechne den Flächeninhalt eines Kreissektors mit dem Zentriwinkel α = 45° und den Flächeninhalt des zugehörigen Kreissegments.

Lösung:

Kreissektor:

\(A_{Sektor} = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi \cdot r^2 = \frac{45°}{360°} \cdot \pi \cdot (8 \text{ cm})^2 = \frac{1}{8} \cdot \pi \cdot 64 \text{ cm}^2 = 8\pi \text{ cm}^2 \approx 25,13 \text{ cm}^2\)

Dreieck:

Die Höhe des Dreiecks ist \(h = r \cdot \cos(\alpha/2) = 8 \text{ cm} \cdot \cos(22,5°) \approx 8 \text{ cm} \cdot 0,9239 \approx 7,39 \text{ cm}\)

Die Länge der Sehne ist \(s = 2r \cdot \sin(\alpha/2) = 2 \cdot 8 \text{ cm} \cdot \sin(22,5°) \approx 16 \text{ cm} \cdot 0,3827 \approx 6,12 \text{ cm}\)

\(A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot s \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6,12 \text{ cm} \cdot 7,39 \text{ cm} \approx 22,64 \text{ cm}^2\)

Alternative Berechnung des Dreiecks:

\(A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot (8 \text{ cm})^2 \cdot \sin(45°) = \frac{1}{2} \cdot 64 \text{ cm}^2 \cdot 0,7071 \approx 22,63 \text{ cm}^2\)

Kreissegment:

\(A_{Segment} = A_{Sektor} - A_{Dreieck} \approx 25,13 \text{ cm}^2 - 22,63 \text{ cm}^2 \approx 2,50 \text{ cm}^2\)

Der Flächeninhalt des Kreissektors beträgt also etwa 25,13 cm² und der Flächeninhalt des zugehörigen Kreissegments etwa 2,50 cm².

Teste dein Wissen

Ein Kreissektor hat einen Zentriwinkel von 60°. Welchen Bruchteil der Kreisfläche nimmt er ein?

Der Flächeninhalt eines Kreises beträgt 36π cm². Wie groß ist der Flächeninhalt eines Kreissektors mit einem Zentriwinkel von 40°?

Bei einem Kreis mit Radius 10 cm bildet ein Kreissektor mit der Sehne ein Kreissegment, dessen Flächeninhalt 20 cm² beträgt. Der Zentriwinkel des Kreissektors ist 60°. Wie groß ist der Flächeninhalt des Kreissektors?

Anwendungen von Kreissektoren und Kreissegmenten

Diagramme

Kreissektoren werden in Kreis- oder Tortendiagrammen verwendet, um Anteile an einem Ganzen darzustellen.

Architektur

Kreissegmente finden Anwendung in der Architektur, beispielsweise bei Bögen, Kuppeln und dekorativen Elementen.

Mechanik

In der Mechanik und im Maschinenbau werden Kreissektoren für die Berechnung von Schwerpunkten und Trägheitsmomenten verwendet.

Geographie

In der Kartographie und Navigation werden Kreissektoren zur Darstellung von Reichweiten und Einflussbereichen verwendet.

Weiterführende Themen