A
A = πr²
pi

Herleitung der Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises

Entdecke, wie die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises durch Umwandlung in ein Rechteck hergeleitet werden kann.

Herleitung der Flächenformel – Von der Kreisfläche zum Rechteck

Wir kennen bereits die Formel für den Umfang eines Kreises: \(U=2\pi\cdot r\). Mit ihr können wir eine elegante Herleitung für die Flächenformel entwickeln. Der mathematische Trick besteht darin, die Kreisfläche in ein Rechteck "umzuwandeln", dessen Flächeninhalt wir leicht berechnen können.

Bei dieser geometrischen Transformation zerlegen wir den Kreis in viele gleich große Kreissektoren (wie Tortenstücke) und ordnen sie in einer bestimmten Weise neu an. Je mehr Sektoren wir verwenden, desto mehr ähnelt die entstehende Figur einem Rechteck.

Vom Kreis zum Rechteck: Die Transformation verstehen

In der ersten Animation siehst du einen Kreis, der mit zunehmendem Wert des Schiebereglers in immer mehr gleiche Sektoren zerlegt wird. Die zweite Animation zeigt, wie diese Sektoren zu einer rechteckähnlichen Form umgeordnet werden.

Beachte dabei folgende wichtige Aspekte:

  • Die Sektoren werden abwechselnd nach oben und unten an einer horizontalen Linie angeordnet
  • Mit steigender Anzahl an Sektoren (n) nähert sich die Figur immer mehr einem Rechteck an
  • Die Breite des entstehenden Rechtecks entspricht dem halben Kreisumfang: \(\frac{1}{2}U\)
  • Die Höhe des Rechtecks entspricht dem Radius des Kreises: \(r\)

Leitfragen zur Herleitung:

  1. Wie lässt sich die Länge des Rechtecks mit Hilfe von r und der Umfangsformel \(U=2\pi r\) ausdrücken?
  2. Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit von r?
  3. Warum entspricht dieser Flächeninhalt der Fläche des ursprünglichen Kreises?
  4. Weshalb sprechen wir bei dieser Methode von einer Annäherung? (Beobachte den Effekt des Schiebereglers!)

Kreisfläche: Visualisierung der Herleitung

Kreiszerteilung in Sektoren
Umordnung in ein Rechteck

Nutze den Schieberegler, um die Anzahl der Sektoren zu erhöhen und zu sehen, wie der Kreis sich einem Rechteck annähert.

Was passiert in der Animation?

In der obigen Animation wird ein Kreis in Sektoren zerlegt, die anschließend neu angeordnet werden:

  • Der Kreis wird in mehrere gleichgroße Sektoren unterteilt.
  • Diese Sektoren werden abwechselnd oben und unten an einer horizontalen Linie angeordnet.
  • Je mehr Sektoren wir verwenden, desto mehr ähnelt die entstandene Figur einem Rechteck.
  • Dieses Rechteck hat eine spezielle Form:
    • Seine Länge entspricht dem halben Kreisumfang: \(\frac{1}{2}U\)
    • Seine Höhe entspricht dem Radius des Kreises: \(r\)
  • Wie lang ist dieses Rechteck?
  • Wie breit ist dieses Rechteck?

Der Kreis und dieses Rechteck haben den gleichen Flächeninhalt, also gilt:

Mathematische Herleitung

\begin{align} A_{Kreis} &= A_{Rechteck}\\ \, &= \cssId{Step1}{\frac{1}{2}U \cdot r}\\ \, &= \cssId{Step2}{\frac{1}{2} \cdot2\pi\cdot r \cdot r}\\ \, &= \cssId{Step3}{\pi\cdot r^2} \end{align}

Ein Kreis mit dem Radius \(r\) hat den Flächeninhalt \(A=\pi\cdot r^2\).

Anwendungsaufgaben

  • Wie ändert sich der Flächeninhalt eines Kreises, wenn man seinen Radius verdoppelt?
  • Mit welchem Faktor \(x\) muss man den Radius eines Kreises strecken, damit sich sein Flächeninhalt verdoppelt?

Beispiel: Pizza-Größen

Eine kleine Pizza hat einen Durchmesser von 26 cm, eine große Pizza hat einen Durchmesser von 32 cm. Um wie viel Prozent ist die Fläche der großen Pizza größer?

Lösung:

Wir berechnen die Flächen beider Pizzen und vergleichen diese:

Kleine Pizza:
Radius = 26 cm / 2 = 13 cm
Fläche = π · 13² cm² ≈ 530,9 cm²

Große Pizza:
Radius = 32 cm / 2 = 16 cm
Fläche = π · 16² cm² ≈ 804,2 cm²

Flächenzunahme:
804,2 cm² - 530,9 cm² = 273,3 cm²

Prozentuale Zunahme:
(273,3 cm² / 530,9 cm²) · 100% ≈ 51,5%

Die Fläche der großen Pizza ist also um etwa 51,5% größer als die der kleinen Pizza.

Teste dein Wissen

Ein Kreis hat einen Radius von 5 cm. Berechne seinen Flächeninhalt.

Der Flächeninhalt eines Kreises beträgt 100π cm². Wie groß ist sein Radius?

Wenn der Radius eines Kreises um 20% vergrößert wird, um wie viel Prozent vergrößert sich dann sein Flächeninhalt?