Textaufgaben zu Kreisen

Lösung:

Durchmesser des Schwimmbeckens: \(d_{Becken} = 4,5\) m

Radius des Schwimmbeckens: \(r_{Becken} = \frac{d_{Becken}}{2} = \frac{4,5 \text{ m}}{2} = 2,25 \text{ m}\)

Radius der Gesamtfläche (Becken + Plattenbelag): \(r_{Gesamt} = r_{Becken} + 1,2 \text{ m} = 2,25 \text{ m} + 1,2 \text{ m} = 3,45 \text{ m}\)

Fläche des Schwimmbeckens:

\(A_{Becken} = \pi \cdot r_{Becken}^2 = \pi \cdot (2,25 \text{ m})^2 = \pi \cdot 5,0625 \text{ m}^2 \approx 15,9 \text{ m}^2\)

Fläche der Gesamtfläche:

\(A_{Gesamt} = \pi \cdot r_{Gesamt}^2 = \pi \cdot (3,45 \text{ m})^2 = \pi \cdot 11,9025 \text{ m}^2 \approx 37,4 \text{ m}^2\)

Fläche des Plattenbelags:

\(A_{Platten} = A_{Gesamt} - A_{Becken} = 37,4 \text{ m}^2 - 15,9 \text{ m}^2 = 21,5 \text{ m}^2\)

Kosten für den Plattenbelag:

\(Kosten = A_{Platten} \cdot 28 \text{ €/m}^2 = 21,5 \text{ m}^2 \cdot 28 \text{ €/m}^2 = 602 \text{ €}\)

Familie Müller muss 602 € für die Platten ausgeben.

Lösung:

Gegeben: Umfang \(U = 18,84\) m, Pflanzen pro m²: 8

Berechnung des Radius:

\(U = 2\pi \cdot r\)

\(r = \frac{U}{2\pi} = \frac{18,84 \text{ m}}{2\pi} = \frac{18,84 \text{ m}}{6,28} \approx 3 \text{ m}\)

Berechnung der Fläche:

\(A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (3 \text{ m})^2 = 9\pi \text{ m}^2 \approx 28,27 \text{ m}^2\)

Anzahl der benötigten Pflanzen:

\(Anzahl = A \cdot 8 \text{ Pflanzen/m}^2 = 28,27 \text{ m}^2 \cdot 8 \text{ Pflanzen/m}^2 = 226,16 \text{ Pflanzen}\)

Da man keine Teilpflanzen verwenden kann, werden 227 Pflanzen benötigt.

Lösung:

Sei \(r_1\) der ursprüngliche Radius und \(r_2\) der neue Radius.

Der neue Radius beträgt \(r_2 = 1,25 \cdot r_1\) (125% des ursprünglichen Radius).

Die ursprüngliche Fläche ist \(A_1 = \pi \cdot r_1^2\)

Die neue Fläche ist \(A_2 = \pi \cdot r_2^2 = \pi \cdot (1,25 \cdot r_1)^2 = \pi \cdot 1,25^2 \cdot r_1^2 = 1,5625 \cdot \pi \cdot r_1^2 = 1,5625 \cdot A_1\)

Die prozentuale Änderung der Fläche beträgt:

\(\text{Prozentuale Änderung} = \frac{A_2 - A_1}{A_1} \cdot 100\% = \frac{1,5625 \cdot A_1 - A_1}{A_1} \cdot 100\% = \frac{0,5625 \cdot A_1}{A_1} \cdot 100\% = 0,5625 \cdot 100\% = 56,25\%\)

Der Flächeninhalt des Kreises vergrößert sich um 56,25%.

Lösung:

Kleine Pizza (20 cm Durchmesser):

Radius \(r_k = \frac{20 \text{ cm}}{2} = 10 \text{ cm}\)

Fläche \(A_k = \pi \cdot r_k^2 = \pi \cdot (10 \text{ cm})^2 = 100\pi \text{ cm}^2 \approx 314,16 \text{ cm}^2\)

Preis pro cm²: \(\frac{6 \text{ €}}{314,16 \text{ cm}^2} \approx 0,0191 \text{ €/cm}^2\)

Mittlere Pizza (26 cm Durchmesser):

Radius \(r_m = \frac{26 \text{ cm}}{2} = 13 \text{ cm}\)

Fläche \(A_m = \pi \cdot r_m^2 = \pi \cdot (13 \text{ cm})^2 = 169\pi \text{ cm}^2 \approx 530,93 \text{ cm}^2\)

Preis pro cm²: \(\frac{9 \text{ €}}{530,93 \text{ cm}^2} \approx 0,0169 \text{ €/cm}^2\)

Große Pizza (32 cm Durchmesser):

Radius \(r_g = \frac{32 \text{ cm}}{2} = 16 \text{ cm}\)

Fläche \(A_g = \pi \cdot r_g^2 = \pi \cdot (16 \text{ cm})^2 = 256\pi \text{ cm}^2 \approx 804,25 \text{ cm}^2\)

Preis pro cm²: \(\frac{12 \text{ €}}{804,25 \text{ cm}^2} \approx 0,0149 \text{ €/cm}^2\)

Vergleich der Preise pro cm²:

• Klein: 0,0191 €/cm²
• Mittel: 0,0169 €/cm²
• Groß: 0,0149 €/cm²

Bei der großen Pizza erhält man den besten Preis pro Quadratzentimeter.