\(P'\)

\(2 \cdot t_0\)

Lotfußpunkt

Punkt an einer Ebene spiegeln

Senkrecht hin, durch die Ebene hindurch und noch einmal so weit

Was heißt Spiegeln an einer Ebene?

Stellen Sie sich die Ebene \(E\) als Spiegel vor. Ihr Spiegelbild sehen Sie genau gegenüber – nicht schräg versetzt – und es steht genauso weit hinter dem Spiegel wie Sie davor. Genau das sind die zwei Bedingungen für den Spiegelpunkt \(P'\):

Senkrecht: Die Strecke \(\overline{PP'}\) steht senkrecht auf \(E\). Der Vektor \(\overrightarrow{PP'}\) ist also ein Vielfaches des Normalenvektors \(\vec n\).
Gleich weit: Die Mitte von \(\overline{PP'}\) liegt in \(E\). Dieser Punkt heißt Lotfußpunkt \(F\).

Beides zusammen führt zu einer Geraden durch \(P\) in Richtung \(\vec n\) – der Lotgeraden. Auf ihr liegen \(P\), \(F\) und \(P'\).

Die Idee im Bild

\(E: x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 5\) kennen Sie schon von den Seiten davor, dazu kommt der Punkt \(P(2 \,|\, 3 \,|\, 3)\). Die Lotgerade

\[l: \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\]

beginnt in \(P\) und geht senkrecht durch \(E\). Schieben Sie den Punkt \(X\) mit dem Regler die Lotgerade entlang und achten Sie auf drei Stellen. Drehen Sie das Bild mit Maus oder Finger; „Von der Seite“ dreht so, dass \(E\) zur Linie wird.

\(t = 0\)

Parameter von \(X\) auf der Lotgeraden

Was der Versuch zeigt

Bei \(t = 0\) ist man in \(P\), bei \(t = -1\) in der Ebene (\(F\)), bei \(t = -2\) im Spiegelpunkt \(P'\).
Der Abstand zu \(P\) wächst gleichmäßig mit \(t\). Wer mit \(t_0\) bis zur Ebene kommt, kommt mit \(2 \cdot t_0\) genauso weit hinter die Ebene.
Eingesetzt in \(E\) haben \(P\) und \(P'\) dieselbe Abweichung von \(d\), nur mit anderem Vorzeichen: Sie liegen gleich weit weg, aber auf verschiedenen Seiten.

Das Verfahren in drei Schritten

1. Lotgerade aufstellen

Die Gerade durch \(P\) in Richtung des Normalenvektors:
\(l: \vec x = \overrightarrow{OP} + t \cdot \vec n\)

2. Mit der Ebene schneiden

\(l\) in die Koordinatenform einsetzen, nach \(t\) auflösen: Das ist \(t_0\). Eingesetzt in \(l\) ergibt es den Lotfußpunkt \(F\).

3. Parameter verdoppeln

\(t = 2 \cdot t_0\) in \(l\) einsetzen. Das liefert den Spiegelpunkt \(P'\).

\[\overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{OP} + 2 \cdot t_0 \cdot \vec n\]

Das Beispiel von oben, Schritt für Schritt. Ab dem Spiegelpunkt dreht sich das Bild von selbst so, dass \(E\) zur Linie wird: Dann sieht man, dass \(\overline{PF}\) und \(\overline{FP'}\) gleich lang sind und senkrecht auf \(E\) stehen.

Schritt 1

Zweiter Weg: über den Lotfußpunkt

Hat man \(F\) schon, kommt man auch ohne \(t\) zum Spiegelpunkt: Von \(P\) nach \(F\) und dann denselben Pfeil noch einmal. Klicken Sie sich durch die zwei Schritte.

Schritt 1

Das ist dieselbe Rechnung wie „\(t\) verdoppeln“, nur anders aufgeschrieben. Nehmen Sie den Weg, der Ihnen leichter fällt.

Ebene in Parameterform?

Dann zuerst den Normalenvektor mit dem Vektorprodukt \(\vec n = \vec u \times \vec v\) bestimmen und die Ebene in Koordinatenform bringen. Danach geht alles wie oben. (Die Lotgerade direkt mit der Parameterform gleichzusetzen geht auch, kostet aber ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten.)

Sonderfälle zum Kopfrechnen

Koordinatenebenen: An der \(x_1x_2\)-Ebene \((x_3 = 0)\) wird nur das Vorzeichen von \(x_3\) umgedreht: \((2 \,|\, 3 \,|\, 3) \mapsto (2 \,|\, 3 \,|\, -3)\).
Punkt in der Ebene: Dann ist \(t_0 = 0\) und \(P' = P\). Punkte des Spiegels bleiben, wo sie sind.
Zweimal spiegeln führt zurück zu \(P\).

Stolpersteine

Beim zweiten Weg die Richtung von \(\overrightarrow{PF}\) beachten. Spitze minus Fuß: \(\overrightarrow{PF} = \overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OP}\). Andersherum gerechnet zeigt der Pfeil zurück zu \(P\).
\(2 t_0\) gehört an \(P\), nicht an \(F\). \(\overrightarrow{OF} + 2t_0 \cdot \vec n\) geht eine Strecke zu weit.
Vorzeichen von \(t_0\) mitnehmen. Ob \(t_0\) positiv oder negativ ist, hängt nur davon ab, wohin \(\vec n\) zeigt. Das Verfahren funktioniert in beiden Fällen.
\(\vec n\) muss nicht die Länge \(1\) haben. Ein längerer Normalenvektor macht \(t_0\) nur kleiner, \(P'\) bleibt derselbe.
Immer die Probe: Die Mitte von \(P\) und \(P'\) muss \(F\) sein.

Übungen

Aufgabe 1 – Grundaufgabe

Spiegeln Sie \(P(4 \,|\, 0 \,|\, 6)\) an der Ebene \(E: 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 2\). Geben Sie auch den Lotfußpunkt an.

Aufgabe 2 – ohne Rechnung

Spiegeln Sie \(Q(3 \,|\, -2 \,|\, 5)\) (a) an der \(x_2x_3\)-Ebene, (b) an der Ebene \(x_3 = 2\), (c) an der Ebene \(x_1 + x_2 = 1\). Begründen Sie jeweils kurz.

Aufgabe 3 – Ebene in Parameterform

Spiegeln Sie \(P(4 \,|\, -1 \,|\, 2)\) an \(E: \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\).

Aufgabe 4 – rückwärts: die Spiegelebene

\(P'(5 \,|\, -2 \,|\, 3)\) ist der Spiegelpunkt von \(P(1 \,|\, 2 \,|\, -1)\). Bestimmen Sie eine Gleichung der Spiegelebene \(E\) in Koordinatenform.

Aufgabe 5 – eine Gerade spiegeln

Spiegeln Sie die Gerade \(g: \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\) an \(E: x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 5\).
Tipp: Eine Gerade ist durch zwei Punkte festgelegt. Einer davon muss gar nicht gespiegelt werden.

Lösung: \(g': \vec x = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Idee: Eine Gerade ist durch zwei Punkte festgelegt. Man spiegelt also zwei Punkte von \(g\) und legt durch die beiden Bildpunkte die Gerade \(g'\). Geschickt gewählt ist einer davon der Schnittpunkt von \(g\) mit \(E\): Er liegt im Spiegel und muss gar nicht gespiegelt werden.

Schritt 1: Schnittpunkt \(S\) von \(g\) und \(E\)

Die Zeilen von \(g\) lauten \(x_1 = 2 + s\), \(x_2 = 3 - s\), \(x_3 = 3 - s\). Eingesetzt in \(E\):

\[\begin{aligned} (2 + s) + 2 \cdot (3 - s) + 2 \cdot (3 - s) &= 5 \\ 2 + s + 6 - 2s + 6 - 2s &= 5 \\ 14 - 3s &= 5 \\ s &= 3 \end{aligned}\]

\(s = 3\) in \(g\) eingesetzt: \(S(2 + 3 \,|\, 3 - 3 \,|\, 3 - 3) = S(5 \,|\, 0 \,|\, 0)\). Probe: \(5 + 0 + 0 = 5\) ✓. \(S\) bleibt beim Spiegeln, wo er ist: \(S' = S\).

Schritt 2: Einen zweiten Punkt spiegeln

Am bequemsten ist der Stützpunkt \(P(2 \,|\, 3 \,|\, 3)\) von \(g\). Gespiegelt wird wie oben im Verfahren:

Lotgerade durch \(P\) mit dem Normalenvektor \(\vec n = (1 \,|\, 2 \,|\, 2)\): \[l: \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\]
Mit \(E\) schneiden: \[\begin{aligned} (2 + t) + 2 \cdot (3 + 2t) + 2 \cdot (3 + 2t) &= 5 \\ 14 + 9t &= 5 \\ t_0 &= -1 \end{aligned}\]
Parameter verdoppeln: \(t = 2 \cdot (-1) = -2\) in \(l\) einsetzen: \[\overrightarrow{OP'} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 2 \\ 3 - 4 \\ 3 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\]

Also \(P'(0 \,|\, -1 \,|\, -1)\) – derselbe Punkt wie im Beispiel oben, denn es ist dasselbe \(P\).

Schritt 3: Gerade durch \(S\) und \(P'\)

Richtungsvektor „Spitze minus Fuß“:

\[\overrightarrow{P'S} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad\Rightarrow\qquad g': \vec x = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\]

Probe: Mit \(s = -1\) erhält man \((0 \,|\, -1 \,|\, -1) = P'\) ✓.

Sonderfall: Ist \(g\) parallel zu \(E\), gibt es keinen Schnittpunkt. Dann spiegelt man zwei beliebige Punkte von \(g\) – oder einen Punkt und nimmt den Richtungsvektor von \(g\) einfach mit, denn \(g'\) ist dann parallel zu \(g\).

Zum Merken

Lotgerade: \(l: \vec x = \overrightarrow{OP} + t \cdot \vec n\).
Lotfußpunkt: \(l\) in die Koordinatenform einsetzen → \(t_0\) → \(F\).
Spiegelpunkt: \(\overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{OP} + 2 t_0 \cdot \vec n\) oder \(\overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{OF} + \overrightarrow{PF}\).
Probe: \(F\) ist die Mitte von \(P\) und \(P'\).

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