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\(a = \frac{\text{Max} - \text{Min}}{2}\)
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Experte 1: Parameter \(a\)

Wie weit schwingt die Kurve nach oben und unten?

Expertenphase – so geht ihr vor (ca. 25 Minuten)

  1. Lies die Situation und die Erklärung zu deinem Parameter in Ruhe allein durch.
  2. Bearbeite die Aufgaben zuerst allein, vergleicht dann eure Ergebnisse in der Expertengruppe. Klappt die Lösungen erst auf, wenn ihr verglichen habt.
  3. Fülle den „Spickzettel“ am Ende aus: In der Stammgruppe erklärst du deinen Parameter in etwa 3 Minuten am Beispiel des Sternenrads.

Die Situation: Fahrt mit dem Sternenrad

Elif und Jonas besuchen den Herbstmarkt in Lindenau. Dort dreht sich das Riesenrad „Sternenrad“. Jonas steigt ganz unten in eine Gondel ein. Elif bleibt am Boden, startet die Stoppuhr und notiert jede halbe Minute, wie hoch Jonas’ Gondel gerade über dem Boden ist. Ihre Messpunkte (×) trägt sie in ein Koordinatensystem ein und verbindet sie.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 Zeit in min Höhe in m

Die Kurve sieht aus wie eine gestreckte und verschobene Sinuskurve. Solche Kurven haben die allgemeine Gleichung

\[ \mathcal{f}(x) = a \cdot \sin\left(b \cdot (x - c)\right) + d. \]

Kennt man die vier Parameter \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\), kann man für jeden Zeitpunkt \(x\) die Höhe \(\mathcal{f}(x)\) berechnen. Ihr bestimmt die Parameter in Expertengruppen – jede und jeder wird Experte für einen Parameter.

Was bewirkt der Parameter \(a\)?

π 2π −3 −2 −1 1 2 3

\(\sin(x)\) \(3 \cdot \sin(x)\) \(0{,}5 \cdot \sin(x)\)

Der Parameter \(a\) gibt an, wie stark die Kurve in \(y\)-Richtung gestreckt ist.

Die einfache Sinuskurve schwankt zwischen \(-1\) und \(1\) (Höhenunterschied 2), dort ist \(a = 1\). Mit \(a = 3\) schwankt sie zwischen \(-3\) und \(3\) (Höhenunterschied 6). Mit \(a = 0{,}5\) wird sie gestaucht.

\(a\) ist also immer die Hälfte des Höhenunterschieds.

Am Sternenrad

Die Gondel ist höchstens \(34\,\text{m}\) und mindestens \(2\,\text{m}\) hoch. Der Höhenunterschied beträgt \(34 - 2 = 32\), also

\[ a = \frac{\text{Max} - \text{Min}}{2} = \frac{34 - 2}{2} = 16. \]

Die Gondel bewegt sich \(16\,\text{m}\) über und \(16\,\text{m}\) unter die Radmitte – \(a\) ist hier der Radius des Riesenrads.

Überlege, wo du den Höhenunterschied und \(a\) als Pfeile in den Graphen der Situation einzeichnen würdest.

Merke

\[ a = \frac{\text{Max} - \text{Min}}{2} \]

(größter minus kleinster Funktionswert, geteilt durch 2)

\(a\) heißt Amplitude: So weit schlägt die Kurve von ihrer Mittellinie nach oben und nach unten aus.

Aufgaben

Aufgabe 1: Amplituden ablesen

Lies jeweils den größten und den kleinsten Funktionswert ab und berechne \(a\).

(a)

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 −1 1 2 3 4 5

(b)

0 2 4 6 8 10 12 0 0,5 1 1,5

(c)

2 4 6 8 10 12 14 16 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

Aufgabe 2: Ebbe und Flut

Im Hafen von Kranichsiel steigt das Wasser bei Flut bis auf \(5{,}2\,\text{m}\), bei Ebbe sinkt es auf \(1{,}0\,\text{m}\). Berechne die Amplitude \(a\) der Wasserstandskurve.

Aufgabe 3: Ein größeres Riesenrad

Das Riesenrad „Weitblick“ hat einen Durchmesser von \(50\,\text{m}\). Der tiefste Punkt einer Gondel liegt \(1{,}5\,\text{m}\) über dem Boden.

  1. Gib \(a\) an und begründe ohne Formel.
  2. Wie hoch kommt eine Gondel höchstens? Prüfe (a) mit der Formel.

Aufgabe 4: Nachgedacht

Wie verändert sich die Kurve des Sternenrads, wenn \(a = 8\) statt \(a = 16\) ist? Was würde das für das Riesenrad bedeuten?

Mein Spickzettel für die Stammgruppe

So erkläre ich \(a\) in der Stammgruppe:

  1. Was bewirkt \(a\) an der Kurve?
  2. Wie berechnet man \(a\)?
  3. Wie groß ist \(a\) beim Sternenrad – und was bedeutet das?
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