∿
\(d = \frac{\text{Max} + \text{Min}}{2}\)
⇅

Experte 2: Parameter \(d\)

Um welche Mittellinie schwingt die Kurve?

Expertenphase – so geht ihr vor (ca. 25 Minuten)

  1. Lies die Situation und die Erklärung zu deinem Parameter in Ruhe allein durch.
  2. Bearbeite die Aufgaben zuerst allein, vergleicht dann eure Ergebnisse in der Expertengruppe. Klappt die Lösungen erst auf, wenn ihr verglichen habt.
  3. Fülle den „Spickzettel“ am Ende aus: In der Stammgruppe erklärst du deinen Parameter in etwa 3 Minuten am Beispiel des Sternenrads.

Die Situation: Fahrt mit dem Sternenrad

Elif und Jonas besuchen den Herbstmarkt in Lindenau. Dort dreht sich das Riesenrad „Sternenrad“. Jonas steigt ganz unten in eine Gondel ein. Elif bleibt am Boden, startet die Stoppuhr und notiert jede halbe Minute, wie hoch Jonas’ Gondel gerade über dem Boden ist. Ihre Messpunkte (×) trägt sie in ein Koordinatensystem ein und verbindet sie.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 Zeit in min Höhe in m

Die Kurve sieht aus wie eine gestreckte und verschobene Sinuskurve. Solche Kurven haben die allgemeine Gleichung

\[ \mathcal{f}(x) = a \cdot \sin\left(b \cdot (x - c)\right) + d. \]

Kennt man die vier Parameter \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\), kann man für jeden Zeitpunkt \(x\) die Höhe \(\mathcal{f}(x)\) berechnen. Ihr bestimmt die Parameter in Expertengruppen – jede und jeder wird Experte für einen Parameter.

Was bewirkt der Parameter \(d\)?

π 2π −2 −1 1 2 3

\(\sin(x)\) \(\sin(x) + 2\) \(\sin(x) - 1\)

Der Parameter \(d\) gibt an, wie weit die Kurve in \(y\)-Richtung verschoben ist.

Die einfache Sinuskurve schwingt um die \(x\)-Achse, ihre Mittellinie ist \(y = 0\) (also \(d = 0\)). Bei \(\sin(x) + 2\) ist alles um 2 nach oben verschoben, die Mittellinie ist \(y = 2\). Bei \(\sin(x) - 1\) liegt sie bei \(y = -1\).

\(d\) ist also die Höhe der Mittellinie.

Am Sternenrad

Die Gondel ist höchstens \(34\,\text{m}\) und mindestens \(2\,\text{m}\) hoch. Die Mittellinie liegt genau in der Mitte zwischen diesen Werten – das ist der Durchschnitt:

\[ d = \frac{\text{Max} + \text{Min}}{2} = \frac{34 + 2}{2} = \frac{36}{2} = 18. \]

Die Kurve schwingt um die Linie \(y = 18\). Anschaulich ist \(d\) hier die Höhe der Radmitte (Nabe) über dem Boden.

Überlege, wo die Mittellinie \(y = 18\) im Graphen der Situation verläuft.

Merke

\[ d = \frac{\text{Max} + \text{Min}}{2} \]

(größter plus kleinster Funktionswert, geteilt durch 2)

\(d\) ist die Höhe der Mittellinie. Die Kurve liegt gleich weit darüber wie darunter.

Aufgaben

Aufgabe 1: Mittellinien finden

Lies jeweils den größten und den kleinsten Funktionswert ab, berechne \(d\) und überlege, wo die Mittellinie verläuft.

(a)

0 2 4 6 8 10 12 0 1 2 3 4 5 6

(b)

1 2 3 4 5 6 7 8 −3 −2 −1 1

(c)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Aufgabe 2: Ebbe und Flut

Im Hafen von Kranichsiel steigt das Wasser bei Flut bis auf \(5{,}2\,\text{m}\), bei Ebbe sinkt es auf \(1{,}0\,\text{m}\). Berechne \(d\). Was bedeutet dieser Wert für den Hafen?

Aufgabe 3: Ein größeres Riesenrad

Das Riesenrad „Weitblick“ hat einen Durchmesser von \(50\,\text{m}\). Der tiefste Punkt einer Gondel liegt \(1{,}5\,\text{m}\) über dem Boden.

  1. Wie hoch liegt die Radmitte? Begründe ohne Formel.
  2. Berechne den höchsten Punkt und prüfe (a) mit der Formel.

Aufgabe 4: Nachgedacht

An einem Wintertag schwankt die Temperatur zwischen \(-3\,^\circ\text{C}\) und \(7\,^\circ\text{C}\). Berechne \(d\). Prüfe: Gilt auch \(d = \text{Min} + a\)? (Tipp: \(a\) ist der halbe Höhenunterschied.)

Mein Spickzettel für die Stammgruppe

So erkläre ich \(d\) in der Stammgruppe:

  1. Was bewirkt \(d\) an der Kurve?
  2. Wie berechnet man \(d\)?
  3. Wie groß ist \(d\) beim Sternenrad – und was bedeutet das?
Zur Übersicht Weiter zur Stammgruppe