∿
\(b = \frac{2\pi}{p}\)
↔

Experte 3: Parameter \(b\)

Wie lange dauert eine volle Schwingung?

Expertenphase – so geht ihr vor (ca. 25 Minuten)

  1. Lies die Situation und die Erklärung zu deinem Parameter in Ruhe allein durch.
  2. Bearbeite die Aufgaben zuerst allein, vergleicht dann eure Ergebnisse in der Expertengruppe. Klappt die Lösungen erst auf, wenn ihr verglichen habt.
  3. Fülle den „Spickzettel“ am Ende aus: In der Stammgruppe erklärst du deinen Parameter in etwa 3 Minuten am Beispiel des Sternenrads.

Die Situation: Fahrt mit dem Sternenrad

Elif und Jonas besuchen den Herbstmarkt in Lindenau. Dort dreht sich das Riesenrad „Sternenrad“. Jonas steigt ganz unten in eine Gondel ein. Elif bleibt am Boden, startet die Stoppuhr und notiert jede halbe Minute, wie hoch Jonas’ Gondel gerade über dem Boden ist. Ihre Messpunkte (×) trägt sie in ein Koordinatensystem ein und verbindet sie.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 Zeit in min Höhe in m

Die Kurve sieht aus wie eine gestreckte und verschobene Sinuskurve. Solche Kurven haben die allgemeine Gleichung

\[ \mathcal{f}(x) = a \cdot \sin\left(b \cdot (x - c)\right) + d. \]

Kennt man die vier Parameter \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\), kann man für jeden Zeitpunkt \(x\) die Höhe \(\mathcal{f}(x)\) berechnen. Ihr bestimmt die Parameter in Expertengruppen – jede und jeder wird Experte für einen Parameter.

Was bewirkt der Parameter \(b\)?

π/2 π 3π/2 2π −1 1 p = π

\(\sin(x)\): Periode \(2\pi\) \(\sin(2x)\): Periode \(\pi\)

Der Parameter \(b\) gibt an, wie stark die Kurve in \(x\)-Richtung gestaucht (oder gestreckt) ist.

Die Periodenlänge \(p\) ist die Länge einer vollen Schwingung, z. B. von einem Tiefpunkt bis zum nächsten. Die einfache Sinuskurve hat die Periodenlänge \(2\pi \approx 6{,}28\).

Bei \(b = 2\) läuft die Kurve doppelt so schnell und ist schon nach \(\pi\) fertig.

Am Sternenrad

Jonas ist bei \(x = 0\) unten und bei \(x = 8\) wieder unten. Eine Umdrehung dauert also \(p = 8\,\text{min}\).

\[ b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}785 \]

Überlege, wo du die Periodenlänge als Pfeil von Tiefpunkt zu Tiefpunkt einzeichnen würdest. Prüfe auch: Wie weit liegen die beiden Hochpunkte auseinander?

Merke

\[ b = \frac{2\pi}{p} \]

und umgekehrt

\[ p = \frac{2\pi}{b} \]

(\(p\) = Periodenlänge)

Warum? Die einfache Sinuskurve braucht \(2\pi\) für eine Schwingung. \(\sin(b \cdot x)\) ist fertig, sobald \(b \cdot x = 2\pi\) ist, also bei \(x = \frac{2\pi}{b}\). Je größer \(b\), desto kürzer die Periode.

Aufgaben

Aufgabe 1: Periodenlängen ablesen

Lies jeweils die Periodenlänge \(p\) ab und berechne \(b\) (exakt mit \(\pi\) und gerundet).

(a)

1 2 3 4 5 6 7 8 −2 −1 1 2

(b)

0 2 4 6 8 10 12 0 1 2 3

(c)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 1 2 3 4 5 6

Aufgabe 2: Rückwärts gedacht

Berechne die Periodenlänge \(p\):   (a) \(b = \frac{\pi}{2}\)   (b) \(b = \frac{\pi}{10}\)   (c) \(b = 2\)

Aufgabe 3: Ebbe und Flut, Sommer und Winter

  1. Zwischen zwei Hochwassern im Hafen von Kranichsiel vergehen etwa 12 Stunden und 25 Minuten. Rechne in Stunden um (auf zwei Dezimalen) und berechne \(b\).
  2. Die Tageslänge (Zeit von Sonnenaufgang bis -untergang) wiederholt sich jedes Jahr nach 365 Tagen. Berechne \(b\) (auf 4 Dezimalen).

Aufgabe 4: Nachgedacht

Das Riesenrad „Wirbelwind“ braucht nur 5 Minuten pro Umdrehung. Berechne \(b\). Ist \(b\) größer oder kleiner als beim Sternenrad? Erkläre, warum das so sein muss.

Mein Spickzettel für die Stammgruppe

So erkläre ich \(b\) in der Stammgruppe:

  1. Was ist die Periodenlänge und wie liest man sie ab?
  2. Wie berechnet man \(b\)?
  3. Wie groß ist \(b\) beim Sternenrad?
Zur Übersicht Weiter zur Stammgruppe