Experte 4: Parameter \(c\)
Wo beginnt die Schwingung?
Expertenphase – so geht ihr vor (ca. 25 Minuten)
- Lies die Situation und die Erklärung zu deinem Parameter in Ruhe allein durch.
- Bearbeite die Aufgaben zuerst allein, vergleicht dann eure Ergebnisse in der Expertengruppe. Klappt die Lösungen erst auf, wenn ihr verglichen habt.
- Fülle den „Spickzettel“ am Ende aus: In der Stammgruppe erklärst du deinen Parameter in etwa 3 Minuten am Beispiel des Sternenrads.
Die Situation: Fahrt mit dem Sternenrad
Elif und Jonas besuchen den Herbstmarkt in Lindenau. Dort dreht sich das Riesenrad „Sternenrad“. Jonas steigt ganz unten in eine Gondel ein. Elif bleibt am Boden, startet die Stoppuhr und notiert jede halbe Minute, wie hoch Jonas’ Gondel gerade über dem Boden ist. Ihre Messpunkte (×) trägt sie in ein Koordinatensystem ein und verbindet sie.
Die Kurve sieht aus wie eine gestreckte und verschobene Sinuskurve. Solche Kurven haben die allgemeine Gleichung
\[ \mathcal{f}(x) = a \cdot \sin\left(b \cdot (x - c)\right) + d. \]Kennt man die vier Parameter \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\), kann man für jeden Zeitpunkt \(x\) die Höhe \(\mathcal{f}(x)\) berechnen. Ihr bestimmt die Parameter in Expertengruppen – jede und jeder wird Experte für einen Parameter.
Was bewirkt der Parameter \(c\)?
\(\sin(x)\) \(\sin(x - 2)\)
Der Parameter \(c\) gibt an, wie weit die Kurve in \(x\)-Richtung verschoben ist.
Die einfache Sinuskurve startet bei \(x = 0\) auf der Mittellinie und steigt. Diesen Punkt nennen wir Startpunkt \(S\).
Bei \(\sin(x - 2)\) ist alles um 2 nach rechts verschoben: Der Startpunkt liegt bei \(x = 2\), also ist \(c = 2\).
Am Sternenrad
Die Mittellinie liegt bei \(y = 18\) (genau zwischen 2 und 34). Die Kurve kreuzt sie steigend zum ersten Mal bei \(x = 2\). Also ist \(c = 2\) und in der Gleichung steht \((x - 2)\).
Überlege, wo die Mittellinie und der Startpunkt \({S(2 \mid 18)}\) im Graphen der Situation liegen.
Auch bei \(x = 10\) kreuzt die Kurve die Mittellinie steigend – genau eine Periode später.
Oft sieht man einen Hoch- oder Tiefpunkt besser. Vom Startpunkt bis zum Hochpunkt ist es genau eine Viertelperiode \(\frac{p}{4}\):
| Das siehst du gut … | … so bestimmst du \(c\) | Sternenrad (\(p = 8\)) |
|---|---|---|
| Startpunkt (Mittellinie, steigend) bei \(x_S\) | \(c = x_S\) | \(c = 2\) |
| Hochpunkt bei \(x_H\) | \(c = x_H - \frac{p}{4}\) | \(c = 4 - 2 = 2\) |
| Tiefpunkt bei \(x_T\) | \(c = x_T + \frac{p}{4}\) | \(c = 0 + 2 = 2\) |
Merke
\(c\) ist die \(x\)-Koordinate eines Startpunkts: Dort kreuzt die Kurve ihre Mittellinie und steigt.
Achtung Vorzeichen: \(c = 2\) ergibt \((x - 2)\), \(\; c = -3\) ergibt \((x + 3)\).
\(c\) ist nicht eindeutig: Man darf eine ganze Periode \(p\) addieren oder abziehen. Meist wählt man den Wert nahe bei 0.
Zwei Schreibweisen – dieselbe Kurve
In diesem Gruppenpuzzle steht in der Klammer ein Minus. In vielen Büchern und auf der Seite Allgemeine Sinusfunktion steht dort ein Plus:
Minus-Schreibweise (hier)
\[ \mathcal{f}(x) = a \cdot \sin\left(b \cdot (x - c)\right) + d \]\(c\) gibt die Verschiebung nach rechts an.
Plus-Schreibweise
\[ \mathcal{f}(x) = a \cdot \sin\left(b \cdot (x + c)\right) + d \]\(c\) gibt die Verschiebung nach links an.
Beide Schreibweisen beschreiben genau dieselben Kurven – nur das Vorzeichen von \(c\) dreht sich um. Entscheidend ist, was in der Klammer steht:
- \((x - 2)\): Die Kurve ist um 2 nach rechts verschoben.
- \((x + 3)\): Die Kurve ist um 3 nach links verschoben.
Sternenrad: In der Klammer steht \((x - 2)\). In der Minus-Schreibweise ist also \(c = 2\), in der Plus-Schreibweise \(c = -2\), denn \(x - 2 = x + (-2)\). Die Kurve ist in beiden Fällen um 2 nach rechts verschoben.
Aufgaben
Aufgabe 1: Startpunkte finden
Suche jeweils einen Startpunkt \(S\) und gib \(c\) an. Die Periodenlänge \(p\) ist angegeben.
(a) \(p = 8\)
(b) \(p = 12\)
(c) \(p = 4\)
(a)
Startpunkt bei \(x = 3\) \(\Rightarrow c = 3\)
(b)
Hochpunkt bei \(x = 5\): \(c = 5 - \frac{12}{4} = 2\)
(c)
Tiefpunkt bei \(x = 0\): \(c = 0 + \frac{4}{4} = 1\)
Jeweils ist auch \(c \pm p\) richtig, z. B. bei (a) auch \(c = 11\) oder \(c = -5\).
Aufgabe 2: \(c\) aus der Gleichung ablesen
Gib jeweils \(c\) an (Minus-Schreibweise).
(a) \(\mathcal{f}(x) = 2 \cdot \sin\left(3 \cdot (x - 1)\right) + 4\)
(b) \(g(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} \cdot (x + 2)\right)\)
(c) \(h(x) = 5 \cdot \sin(x + \pi) - 1\)
(a) \(c = 1\) (b) \(c = -2\) (c) \(c = -\pi\)
In der Plus-Schreibweise wären es \(c = -1\), \(c = 2\) und \(c = \pi\) – die Verschiebung bleibt dieselbe: (a) 1 nach rechts, (b) 2 nach links, (c) \(\pi\) nach links.
Aufgabe 3: Mit Hoch- und Tiefpunkt
- Eine Sinuskurve hat die Periodenlänge \(p = 16\) und bei \(x = 0\) einen Hochpunkt. Bestimme zwei mögliche Werte für \(c\).
- Beim Riesenrad „Weitblick“ dauert eine Umdrehung 10 Minuten. Die Gondel ist bei \(x = 0\) ganz unten. Bestimme \(c\).
(a) \(c = 0 - \frac{16}{4} = -4\) oder \(c = -4 + 16 = 12\)
(b) \(c = 0 + \frac{10}{4} = 2{,}5\)
Aufgabe 4: Nachgedacht
Begründe am Graphen der Situation, warum beim Sternenrad auch \(c = 10\) oder \(c = -6\) richtig wäre.
Die Kurve kreuzt die Mittellinie \(y = 18\) auch bei \(x = 10\) steigend (ebenso bei \(x = -6\), wenn man den Graphen nach links fortsetzt, grau). Die Startpunkte liegen jeweils eine Periode (\(p = 8\)) auseinander. Verschiebt man die Sinuskurve um eine ganze Periode, ergibt sich dieselbe Kurve.
Mein Spickzettel für die Stammgruppe
So erkläre ich \(c\) in der Stammgruppe:
- Was ist ein Startpunkt?
- Wie bestimmt man \(c\) (auch mit Hoch- oder Tiefpunkt)?
- Wie groß ist \(c\) beim Sternenrad? Achtung Vorzeichen – und denk an die Plus-Schreibweise!
Startpunkt \({S(2 \mid 18)}\), also \(c = 2\) und in der Gleichung steht \((x - 2)\). Kontrolle über den Tiefpunkt: \(c = 0 + \frac{8}{4} = 2\). In der Plus-Schreibweise wäre \(c = -2\) – die Kurve ist trotzdem um 2 nach rechts verschoben.