Stammgruppe: Alle vier Parameter zusammen
Vom Riesenrad zum Hafen – wir modellieren mit der Sinusfunktion.
Stammgruppenphase – so geht ihr vor
- Vorstellen (ca. 15 min): Die Experten erklären ihren Parameter in der Reihenfolge \(a \rightarrow d \rightarrow b \rightarrow c\), jeweils etwa 3 Minuten am Beispiel des Sternenrads. Alle anderen füllen dabei die Tabelle aus und stellen Rückfragen.
- Gemeinsam arbeiten (ca. 30 min): Bearbeitet die Aufgaben zusammen. Bei jeder Aufgabe ist jede Expertin bzw. jeder Experte für „ihren“ oder „seinen“ Parameter verantwortlich und erklärt den anderen den Rechenweg.
Die vier Parameter
Übertragt die Tabelle auf euer Blatt und füllt sie beim Vorstellen aus.
| Parameter | Was bewirkt er an der Kurve? | So berechnet man ihn | Sternenrad |
|---|---|---|---|
| \(a\) | … | … | \(a = \;\)… |
| \(d\) | … | … | \(d = \;\)… |
| \(b\) | … | … | \(b = \;\)… |
| \(c\) | … | … | \(c = \;\)… |
| Parameter | Wirkung | Berechnung | Sternenrad |
|---|---|---|---|
| \(a\) | Streckung in \(y\)-Richtung (Amplitude) | \(\frac{\text{Max} - \text{Min}}{2}\) | \(16\) |
| \(d\) | Verschiebung in \(y\)-Richtung (Mittellinie) | \(\frac{\text{Max} + \text{Min}}{2}\) | \(18\) |
| \(b\) | Stauchung in \(x\)-Richtung | \(\frac{2\pi}{p}\) | \(\frac{\pi}{4} \approx 0{,}785\) |
| \(c\) | Verschiebung in \(x\)-Richtung (Startpunkt) | \(x_S\) bzw. \(x_H - \frac{p}{4}\) | \(2\) |
Aufgaben
Aufgabe 1: Das Sternenrad – alles zusammengesetzt
- Setzt die vier Parameter in die allgemeine Gleichung ein: \[ \mathcal{f}(x) = \boxed{\phantom{00}} \cdot \sin\left(\boxed{\phantom{00}} \cdot \left(x - \boxed{\phantom{00}}\right)\right) + \boxed{\phantom{00}} \]
- Überprüft eure Gleichung: Berechnet \(\mathcal{f}(0)\) und \(\mathcal{f}(4)\) und vergleicht mit dem Graphen. (Taschenrechner auf RAD!)
- Wie hoch ist Jonas’ Gondel nach 1 Minute und nach 3 Minuten? Rundet auf zwei Dezimalen.
- Elif behauptet: „Nach 6 Minuten ist Jonas genau auf der Höhe der Radmitte.“ Prüft rechnerisch.
(a) \(\mathcal{f}(x) = 16 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4} \cdot (x - 2)\right) + 18\)
(b) \(\mathcal{f}(0) = 16 \cdot \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) + 18 = -16 + 18 = 2\) und \(\mathcal{f}(4) = 16 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 18 = 34\) – passt zum Graphen.
(c) \(\mathcal{f}(1) = 16 \cdot \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) + 18 \approx 6{,}69\,\text{m}\) und \(\mathcal{f}(3) = 16 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) + 18 \approx 29{,}31\,\text{m}\)
(d) \(\mathcal{f}(6) = 16 \cdot \sin(\pi) + 18 = 16 \cdot 0 + 18 = 18\). Elif hat recht: Nach 6 Minuten ist die Gondel auf Höhe der Radmitte (\(18\,\text{m}\)).
Aufgabe 2: Ebbe und Flut im Hafen von Möwensund
Im kleinen Fischerhafen von Möwensund hat die Hafenmeisterin Frau Oltmanns einen Tag lang den Wasserstand aufgezeichnet. (Zur Vereinfachung rechnen wir mit einer Periodenlänge von genau 12 Stunden.)
- Bestimmt die Funktionsgleichung. Jede bzw. jeder berechnet zuerst „ihren/seinen“ Parameter.
- Berechnet den Wasserstand um 0:00 Uhr und um 8:00 Uhr.
- Der Fischkutter „Seeschwalbe“ kann nur auslaufen, wenn das Wasser mindestens \(3\,\text{m}\) hoch steht. Denkt euch die Linie \(y = 3\) in den Graphen und lest ab, in welchen Zeiträumen er auslaufen kann.
(a) Max \(= 3{,}8\), Min \(= 0{,}6\) \(\Rightarrow\) \(a = 1{,}6\), \(\; d = 2{,}2\)
Hochpunkte bei \(x = 5\) und \(x = 17\) \(\Rightarrow\) \(p = 12\), \(\; b = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}524\)
Startpunkt bei \(x = 2\) (bzw. \(c = 5 - 3 = 2\)) \(\Rightarrow\) \(c = 2\)
(b) 0:00 Uhr: \(\mathcal{f}(0) = 1{,}6 \cdot \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) + 2{,}2 \approx 0{,}81\,\text{m}\)
8:00 Uhr: \(\mathcal{f}(8) = 1{,}6 \cdot \sin(\pi) + 2{,}2 = 2{,}2\,\text{m}\)
(c) Ablesen: etwa von 3:00 bis 7:00 Uhr und von 15:00 bis 19:00 Uhr.
Aufgabe 3: Lange Sommertage in Fjellvik
In der nordischen Kleinstadt Fjellvik ist der längste Tag des Jahres (Tag 172, 21. Juni) 19 Stunden hell, der kürzeste (21. Dezember) nur 5 Stunden. Die Tageslänge in Abhängigkeit vom Tag \(x\) des Jahres lässt sich durch eine Sinusfunktion beschreiben.
- Bestimmt \(a\), \(d\) und \(b\) (Periodenlänge: 365 Tage).
- Bestimmt \(c\) mithilfe des längsten Tages. Welches Datum ist Tag \(c\) ungefähr und was passiert an diesem Tag?
- Wie lange ist es am 1. Mai (Tag 121) hell? Gebt das Ergebnis in Stunden und Minuten an.
(a) \(a = \frac{19 - 5}{2} = 7\), \(\; d = \frac{19 + 5}{2} = 12\), \(\; b = \frac{2\pi}{365} \approx 0{,}0172\)
(b) Hochpunkt bei Tag 172: \(c = 172 - \frac{365}{4} = 172 - 91{,}25 = 80{,}75 \approx 81\). Tag 81 ist etwa der 21./22. März: Frühlingsanfang (Tag-und-Nacht-Gleiche) – Tag und Nacht sind gleich lang, nämlich \(d = 12\) Stunden.
(c) \(\mathcal{f}(121) = 7 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{365} \cdot (121 - 80{,}75)\right) + 12 \approx 16{,}47\), also etwa 16 Stunden 28 Minuten. (Mit \(c = 81\): \(\approx 16{,}45\), etwa 16 h 27 min.)
Aufgabe 4 (Zusatz): Jetzt rückwärts
Gegeben ist \(g(x) = 3 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} \cdot (x + 1)\right) + 4\). Gebt Max, Min, Periodenlänge und einen Startpunkt an und skizziert den Graphen für \(0 \leq x \leq 8\).
\(a = 3\), \(\; d = 4\) \(\Rightarrow\) Max \(= 7\), Min \(= 1\)
\(b = \frac{\pi}{2}\) \(\Rightarrow\) \(p = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}} = 4\)
In der Klammer steht \((x + 1)\), also ist die Kurve um 1 nach links verschoben: \(c = -1\) \(\Rightarrow\) Startpunkte \({(-1 \mid 4)}\), \({(3 \mid 4)}\), \({(7 \mid 4)}\)
Hochpunkte bei \(x = 0, 4, 8\); Tiefpunkte bei \(x = 2, 6\).
Formelblatt: Die allgemeine Sinusfunktion
Alles auf einen Blick – zum Nachschlagen nach der Stammgruppenphase.
Parameter aus einem Graphen bestimmen
\[ \mathcal{f}(x) = a \cdot \sin\left(b \cdot (x - c)\right) + d \]Parameter \(a\) – Streckung in \(y\)-Richtung
Amplitude: So weit schlägt die Kurve von der Mittellinie nach oben und unten aus.
Beispiel: Max \(= 34\), Min \(= 2\) \(\Rightarrow\) \(a = \frac{34 - 2}{2} = 16\)
Parameter \(d\) – Verschiebung in \(y\)-Richtung
Höhe der Mittellinie. Kontrolle: \(d = \text{Min} + a\).
Beispiel: Max \(= 34\), Min \(= 2\) \(\Rightarrow\) \(d = \frac{34 + 2}{2} = 18\)
Parameter \(b\) – Stauchung in \(x\)-Richtung
\(p\) = Periodenlänge: Abstand zweier Hochpunkte (oder Tiefpunkte). Großes \(b\) \(\Rightarrow\) kurze Periode.
Beispiel: \(p = 8\) \(\Rightarrow\) \(b = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}785\)
Parameter \(c\) – Verschiebung in \(x\)-Richtung
\(c\) = \(x\)-Wert eines Startpunkts \(S\) (auf der Mittellinie, Kurve steigt).
Startpunkt bei \(x_S\): \(\; c = x_S\)
Hochpunkt bei \(x_H\): \(\; c = x_H - \frac{p}{4}\)
Tiefpunkt bei \(x_T\): \(\; c = x_T + \frac{p}{4}\)
Beispiel: \({S(2 \mid 18)}\) \(\Rightarrow\) \(c = 2\) \(\Rightarrow\) \((x - 2)\)
In 5 Schritten zur Funktionsgleichung
- Max und Min ablesen.
- \(a\) und \(d\) berechnen, Mittellinie \(y = d\) einzeichnen.
- Periodenlänge \(p\) ablesen, \(b\) berechnen.
- Startpunkt (oder Hoch-/Tiefpunkt) suchen, \(c\) bestimmen.
- Alles einsetzen und mit einem Punkt prüfen.
Sternenrad: \(\mathcal{f}(x) = 16 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4} \cdot (x - 2)\right) + 18\)
Achtung – typische Fehler
- Taschenrechner auf RAD stellen – die Winkel haben kein Gradzeichen.
- Vorzeichen bei \(c\): \(c = 2 \Rightarrow (x - 2)\); \(\; c = -3 \Rightarrow (x + 3)\).
- \(b\) ist nicht die Periodenlänge! Erst \(p\) ablesen, dann \(b = \frac{2\pi}{p}\).
- \(c\) ist nicht eindeutig: \(c \pm p\) ist ebenfalls richtig.
Zwei Schreibweisen – dieselbe Kurve
In diesem Gruppenpuzzle steht in der Klammer ein Minus. In vielen Büchern und auf der Seite Allgemeine Sinusfunktion steht dort ein Plus:
Minus-Schreibweise (hier)
\[ \mathcal{f}(x) = a \cdot \sin\left(b \cdot (x - c)\right) + d \]\(c\) gibt die Verschiebung nach rechts an.
Plus-Schreibweise
\[ \mathcal{f}(x) = a \cdot \sin\left(b \cdot (x + c)\right) + d \]\(c\) gibt die Verschiebung nach links an.
Beide Schreibweisen beschreiben genau dieselben Kurven – nur das Vorzeichen von \(c\) dreht sich um. Entscheidend ist, was in der Klammer steht:
- \((x - 2)\): Die Kurve ist um 2 nach rechts verschoben.
- \((x + 3)\): Die Kurve ist um 3 nach links verschoben.
Sternenrad: In der Klammer steht \((x - 2)\). In der Minus-Schreibweise ist also \(c = 2\), in der Plus-Schreibweise \(c = -2\), denn \(x - 2 = x + (-2)\). Die Kurve ist in beiden Fällen um 2 nach rechts verschoben.